Ancora sulla variabile aleatoria esponenziale
Vorrei che qualcuno mi spiegasse perchè data una v.a. $ X \sim Exp(lambda) $ la sua media è $ 1/lambda $.
La definizione di media di una v.a. continua è $ \int_RR xf(x)dx $.
Ora se calcolo $\int_{-\infty}^{+infty} lambda*e^{-lambda*x}dx $ mi risulta che venga $-\infty $ come risultato.
Ovvero $\int_{-\infty}^{+infty} lambda*e^{-lambda*x}dx=lim_(x -> +\infty)(1/lambda e^{lambda*x}-xe^{-lambda*x}-1/lambda*e^{-lambda*x}-xe^{lambda*x})=-\infty $
Dove sbaglio?
La definizione di media di una v.a. continua è $ \int_RR xf(x)dx $.
Ora se calcolo $\int_{-\infty}^{+infty} lambda*e^{-lambda*x}dx $ mi risulta che venga $-\infty $ come risultato.
Ovvero $\int_{-\infty}^{+infty} lambda*e^{-lambda*x}dx=lim_(x -> +\infty)(1/lambda e^{lambda*x}-xe^{-lambda*x}-1/lambda*e^{-lambda*x}-xe^{lambda*x})=-\infty $
Dove sbaglio?
Risposte
"Sergio":
[quote="maxsiviero"]Dove sbaglio?
a) $\int_{-\infty}^{+infty} lambda*e^{-lambda*x}dx $ è l'integrale della funzione di densità, quindi vale $1$;
b) per il valore atteso devi calcolare (meglio) $\int_{-\infty}^{+infty} x*lambda*e^{-lambda*x}dx $.[/quote]
Hai ragione, mi era rimasta una $ x $ nella tastiera. Però l'integrale l'ho calcolato sulla funzione corretta. Ho sbagliato i limiti di integrazione nel senso che devono essere $ 0 $ e $+\infty$?
esatto, se sostituisci la $f$ nell'integrale, per una v.a. esponenziale gli estremi sono $0$ e $+\infty$ perchè fuori da tale intervallo la $f$ vale $0$
scusa Sergio ma in generale $f$ non è definita su tutto $RR$ (con $f \ge 0$)?
In effetti si possono avere le funzioni di densità definite su tutto $RR$ semplicemente pensando che valgano $0$ in tutti i punti fuori dall'immagine (forse in statistica si dice range? spero di non confondere...) della variabile aleatoria.
dagli appunti che ho io risulta che
$F: \RR \to [0,1]$
inoltre
$X$ è v.a. con distribuzione assolutamente continua se $F$ si può scrivere come $F(x)=\int_{- \infty}^{x} f(t) dt$, con $f \geq 0$ densità di $X$
in base a questa definizione, per una v.a. esponenziale mi pare corretto definire $f$ su tutto $\RR$
$F: \RR \to [0,1]$
inoltre
$X$ è v.a. con distribuzione assolutamente continua se $F$ si può scrivere come $F(x)=\int_{- \infty}^{x} f(t) dt$, con $f \geq 0$ densità di $X$
in base a questa definizione, per una v.a. esponenziale mi pare corretto definire $f$ su tutto $\RR$
"Sergio":In effetti questo è l'approccio che ho trovato sempre anche io parlando di v.a. discrete (dove spesso, più che di funzione di densità di probabilità, leggo pmf, probability mass function). Invece per le v.a. assolutamente continue nei libri che ho consultato (e negli appunti del corso di Probabilità) si richiede che la funzione di densità di probabilità sia un elemento di $L^1(RR)$, positiva, con integrale pari a $1$. In particolare essa è definita (quasi ovunque) in tutto $RR$. Questo serve perché così è (appena appena) più trasparente l'associazione che ad ogni pdf fa corrispondere una misura di probabilità su $RR$, mediante integrale:
A me non pare. Posso sbagliare, ma direi che quello che chiami range in probabilità si chiama supporto, cambia secondo la variabile aleatoria e la funzione di densità è definita solo sul suo supporto. Ad esempio, per una v.a. bernoulliana il supporto è solo $\{0,1\}$, per una binomiale è $\{0,1,...,k\}$, per una Poisson è $NN$ ecc. Per una esponenziale è $RR_+$.
La funzione di ripartizione è invece sempre $F:\RR to \RR$.
sia $f$ una pdf nel senso della definizione precedente, allora resta definita una misura di probabilità su $RR$ dalla identità
1) $P_{f}(A)=\int_A f(x)dx$ per ogni $A\subset RR$ misurabile.
Pensando la $f$ definita solo sul supporto della v.a. $X$, dovremmo dire
2) $P_{f}(A)=\int_{A nn "supporto di "X}f(x)\ dx$ per ogni $A \subset RR$ misurabile.
che poi è esattamente quello che si fa con variabili aleatorie discrete, sostituendo il simbolo di somma a quello di integrale. E' chiaro che possiamo passare dalla definizione 2) alla definizione 1) prolungando $f$ a tutto $RR$ imponendo che valga $0$ fuori dal supporto di $X$: con questo accorgimento le due definizioni sono equivalenti.
Certo è una questione non proprio sostanziale!!!
Mi rendo conto che si tratta di uno di quei dettagli tanto cari ai matematici ma tanto poco significativi nel real world.
Ringrazio tutti per l'attenzione. Quasi mi dispiace di aver sollevato un piccolo "vespaio".
Tornando all'argomento in oggetto, in base alle mie poche conoscenze che sto cercando di accrescere preparando l'esame di Calcolo di Probabilità e Statistica, sono d'accordo con l'ultima risposta di Sergio. Intuitivamente, siccome la misura di probabilità può assumere solo valori positivi, ha senso considerare solo i valori di $ x $ dove la funzione di densita assume valori positivi e nel caso della esponenziale questo capita per $ x \geq 0 $.
Tornando all'argomento in oggetto, in base alle mie poche conoscenze che sto cercando di accrescere preparando l'esame di Calcolo di Probabilità e Statistica, sono d'accordo con l'ultima risposta di Sergio. Intuitivamente, siccome la misura di probabilità può assumere solo valori positivi, ha senso considerare solo i valori di $ x $ dove la funzione di densita assume valori positivi e nel caso della esponenziale questo capita per $ x \geq 0 $.
Hmm no Sergio non mi trovi d'accordo con te. Prendiamo una v.a. assolutamente continua che chiamiamo $X$, sia $f$ la relativa funzione di densità (pdf). $X$ è essa stessa una funzione, definita nello spazio dei campioni e a valori in $RR$. $f$ invece non è definita nello spazio dei campioni [size=75](*)[/size], ma nell'insieme dei valori assunti da $X$: precisamente $f$ è quell'unica funzione (a meno di "quasi ovunque") tale che
$P({omega\ :\ X(omega)\in B})=int_B f(x)dx$ per ogni insieme misurabile $B\subset RR$ contenuto nell'immagine di $X$.
Perciò $f$ è definita dove $X$ assume valori. Con l'accorgimento di estenderla a zero, la possiamo pensare definita su tutto $RR$. Questo non porta alcuna modifica alla definizione precedente, perché estendendo una funzione a zero non si altera nessuno dei relativi integrali; e in questa maniera ci possiamo risparmiare la clausola fastidiosa "per ogni insieme misurabile ... contenuto nell'immagine di $X$". Potrebbe sembrare un trucchetto comodo ma sporco: io invece penso che abbia una dignità anche a livello teorico.
Infatti in generale $X$ non assume tutti i valori reali: per esempio le variabili aleatorie di questo topic non assumeranno mai valori negativi, significherebbe dire che i componenti elettronici in questione hanno una durata di vita negativa e non ha senso. Ma nessuno ci vieta di immaginare una v.a. $\hat{X}$ che assume gli stessi valori di $X$ e con le stesse probabilità, e in più assume anche tutti gli altri valori reali con probabilità zero. Da un punto di vista strettamente formale sono due funzioni diverse. Ma dal punto di vista della teoria della misura, esse coincidono, perché sono uguali quasi ovunque, ovvero a meno di eventi di probabilità nulla. Quindi le si considera uguali, operazione a cui si è ampiamente abituati anche in analisi. In particolare, la pdf di $X$ è in realtà la pdf di $\hat{X}$ e, perciò, non appare più strano che sia definita su tutto $RR$, ovvero nell'immagine di $\hat{X}$.
__________________
(*)E' qui che c'è il massimo del disaccordo tra te e me. Il resto del mio post, a confronto, sono solo technicalities.
$P({omega\ :\ X(omega)\in B})=int_B f(x)dx$ per ogni insieme misurabile $B\subset RR$ contenuto nell'immagine di $X$.
Perciò $f$ è definita dove $X$ assume valori. Con l'accorgimento di estenderla a zero, la possiamo pensare definita su tutto $RR$. Questo non porta alcuna modifica alla definizione precedente, perché estendendo una funzione a zero non si altera nessuno dei relativi integrali; e in questa maniera ci possiamo risparmiare la clausola fastidiosa "per ogni insieme misurabile ... contenuto nell'immagine di $X$". Potrebbe sembrare un trucchetto comodo ma sporco: io invece penso che abbia una dignità anche a livello teorico.
Infatti in generale $X$ non assume tutti i valori reali: per esempio le variabili aleatorie di questo topic non assumeranno mai valori negativi, significherebbe dire che i componenti elettronici in questione hanno una durata di vita negativa e non ha senso. Ma nessuno ci vieta di immaginare una v.a. $\hat{X}$ che assume gli stessi valori di $X$ e con le stesse probabilità, e in più assume anche tutti gli altri valori reali con probabilità zero. Da un punto di vista strettamente formale sono due funzioni diverse. Ma dal punto di vista della teoria della misura, esse coincidono, perché sono uguali quasi ovunque, ovvero a meno di eventi di probabilità nulla. Quindi le si considera uguali, operazione a cui si è ampiamente abituati anche in analisi. In particolare, la pdf di $X$ è in realtà la pdf di $\hat{X}$ e, perciò, non appare più strano che sia definita su tutto $RR$, ovvero nell'immagine di $\hat{X}$.
__________________
(*)E' qui che c'è il massimo del disaccordo tra te e me. Il resto del mio post, a confronto, sono solo technicalities.
"Sergio":Addirittura!!!
Bene. C'è sempre da imparare da te
Comunque è reciproco, caro Sergio. Sono davvero contento di esserti stato utile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo