Ancora sulla distorsione stimatori MM
Propongo sempre qua un altro esercizio del genere,
Sia \(\displaystyle (X_1,\ldots,X_5) \) un campione estratto da una legge su \(\displaystyle \{-1,0,1\} \) avente densità discreta data da
\(\displaystyle f(-1)=\theta_1\quad f(0)=1-\theta_1-\theta_2\quad f(1)=\theta_2 \)
Dove \(\displaystyle \theta_1,\theta_2\in(0,1), \theta_1+\theta_2<1 \)
Determinare con il metodo dei momenti gli stimatori \(\displaystyle \Theta_1,\Theta_2 \) di \(\displaystyle \theta_1,\theta_2 \)
Indicando con \(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}x_i \) e \(\displaystyle S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \)
E ponendo
\(\displaystyle E[X]_{MM}=\bar{x}\Rightarrow \theta_1-\theta_2=\bar{x} \)
\(\displaystyle Var[X]_{MM}=\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}x_i^2-\left(\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}x_i\right)^2=\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=S_5^2\Rightarrow \theta_1+\theta_2-(\theta_2-\theta_1)^2=S_5^2 \)
Ricavo
\(\displaystyle \theta_1=\frac{S_5^2-\bar{x}+\bar{x}^2}{2} \)
\(\displaystyle \theta_2=\frac{S_5^2+\bar{x}+\bar{x}^2}{2} \)
Ora devo stabilire se i due stimatori sono corretti ed essendo che \(\displaystyle S_n^2 \) non è uno stimatore corretto per la varianza mi verrebbe da dire che sono automaticamnete distorti.
Se invece si usasse \(\displaystyle S_{n-1}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \) sarebbe corretto perchè è uno stimatore corretto per la varianza o sbaglio?
Sia \(\displaystyle (X_1,\ldots,X_5) \) un campione estratto da una legge su \(\displaystyle \{-1,0,1\} \) avente densità discreta data da
\(\displaystyle f(-1)=\theta_1\quad f(0)=1-\theta_1-\theta_2\quad f(1)=\theta_2 \)
Dove \(\displaystyle \theta_1,\theta_2\in(0,1), \theta_1+\theta_2<1 \)
Determinare con il metodo dei momenti gli stimatori \(\displaystyle \Theta_1,\Theta_2 \) di \(\displaystyle \theta_1,\theta_2 \)
Indicando con \(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}x_i \) e \(\displaystyle S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \)
E ponendo
\(\displaystyle E[X]_{MM}=\bar{x}\Rightarrow \theta_1-\theta_2=\bar{x} \)
\(\displaystyle Var[X]_{MM}=\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}x_i^2-\left(\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}x_i\right)^2=\frac{1}{5}\sum_{1}^{5}(x_i-\bar{x})^2=S_5^2\Rightarrow \theta_1+\theta_2-(\theta_2-\theta_1)^2=S_5^2 \)
Ricavo
\(\displaystyle \theta_1=\frac{S_5^2-\bar{x}+\bar{x}^2}{2} \)
\(\displaystyle \theta_2=\frac{S_5^2+\bar{x}+\bar{x}^2}{2} \)
Ora devo stabilire se i due stimatori sono corretti ed essendo che \(\displaystyle S_n^2 \) non è uno stimatore corretto per la varianza mi verrebbe da dire che sono automaticamnete distorti.
Se invece si usasse \(\displaystyle S_{n-1}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \) sarebbe corretto perchè è uno stimatore corretto per la varianza o sbaglio?
Risposte
Mi spiace doverlo dire ma ancora non hai capito molto di questo metodo. Ti consiglio di seguire i consigli che ti sto dando oppure di ristudiare il metodo in oggetto, magari anche su altri libri.
Essendo
$mu_1=theta_2-theta_1$
$mu_2=theta_2+theta_1$
Risolvendo e sostituendo $mu_k=1/n Sigma x^k$, senza passare inutilmente dalla varianza campionaria, trovi
$hat(theta)_1= 1/(2n)[Sigma x^2-Sigma x]$
$hat(theta)_2= 1/(2n)[Sigma x^2+Sigma x]$
Da cui subito
$E[hat(theta)_1]=1/2(theta_2+theta_1-theta_2+theta_1)=theta_1$
$E[hat(theta)_2]=1/2(theta_2+theta_1+theta_2-theta_1)=theta_2$
Dunque sono entrambi NON distorti
Ho usato $n$, generico, invece di $5$.... tanto nulla cambia
DEFINIZIONE: i momenti della popolazione si stimano con i momenti empirici.
Essendo
$mu_1=theta_2-theta_1$
$mu_2=theta_2+theta_1$
Risolvendo e sostituendo $mu_k=1/n Sigma x^k$, senza passare inutilmente dalla varianza campionaria, trovi
$hat(theta)_1= 1/(2n)[Sigma x^2-Sigma x]$
$hat(theta)_2= 1/(2n)[Sigma x^2+Sigma x]$
Da cui subito
$E[hat(theta)_1]=1/2(theta_2+theta_1-theta_2+theta_1)=theta_1$
$E[hat(theta)_2]=1/2(theta_2+theta_1+theta_2-theta_1)=theta_2$
Dunque sono entrambi NON distorti
Ho usato $n$, generico, invece di $5$.... tanto nulla cambia
Ok, forse ci sono, praticamente data una densità di probabilità il metodo dei momenti mi dice che
\(\displaystyle E[X]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i \)
\(\displaystyle E[X^2]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^2 \)
Più in generale \(\displaystyle E[X^k]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^k \) il momento (non centrato) k-esimo è uguale al momento campionario k-esimo
Quindi essendo che
\(\displaystyle E[X]=\theta_2-\theta_1 \) [nota]avevo pure sbagliato a calcolarlo[/nota]
\(\displaystyle E[X^2]=\theta_2+\theta_1 \) [nota]In particolare se l'indice del momento è pari vale \(\displaystyle \theta_2+\theta_1 \) se dispari invece \(\displaystyle \theta_2-\theta_1 \)[/nota]
Ponendo come dice il metodo dei momenti
\(\displaystyle E[X]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i \)
\(\displaystyle E[X^2]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^2 \)
Facendo i conti viene poi
\(\displaystyle \hat{\theta}_1= \frac{1}{2n}\left[\sum_{1}^{n}x_i^2-\sum_{1}^{n}x_i\right] \)
\(\displaystyle \hat{\theta}_2= \frac{1}{2n}\left[\sum_{1}^{n}x_i^2+\sum_{1}^{n}x_i\right] \)
E poi per calcolare la distorsione ho
\(\displaystyle E[\hat{\theta}_1]=\frac{1}{2}E\left[\frac{1}{n}\left(\sum_{1}^{n}x_i^2-\sum_{1}^{n}x_i\right)\right]=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(E\left[\sum_{1}^{n}x_i^2\right]-E\left[\sum_{1}^{n}x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(nE\left[x_i^2\right]-nE\left[x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\left(E[X^2]-E[X]\right) \)
\(\displaystyle E[\hat{\theta}_2]=\frac{1}{2}E\left[\frac{1}{n}\left(\sum_{1}^{n}x_i^2+\sum_{1}^{n}x_i\right)\right]=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(E\left[\sum_{1}^{n}x_i^2\right]+E\left[\sum_{1}^{n}x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(nE\left[x_i^2\right]+nE\left[x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\left(E[X^2]+E[X]\right) \)
Quindi se devo stimare la varianza che è definita come \(\displaystyle Var[X]=E[X^2]-(E[X])^2 \) la conseguenza naturale del metodo è che \(\displaystyle Var[X]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i\right)^2 \) solo che questo stimatore per la varianza è distorto, invece \(\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \) o nel caso di media conosciuta \(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{1}^{n}(x_i-\mu)^2 \) sono corretti per la varianza
Grazie mille della pazienza che dopo aver scritto qua sono andato a rileggere sul libro tutta la parte degli stimatori e penso finalmente di esserne venuto fuori
\(\displaystyle E[X]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i \)
\(\displaystyle E[X^2]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^2 \)
Più in generale \(\displaystyle E[X^k]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^k \) il momento (non centrato) k-esimo è uguale al momento campionario k-esimo
Quindi essendo che
\(\displaystyle E[X]=\theta_2-\theta_1 \) [nota]avevo pure sbagliato a calcolarlo[/nota]
\(\displaystyle E[X^2]=\theta_2+\theta_1 \) [nota]In particolare se l'indice del momento è pari vale \(\displaystyle \theta_2+\theta_1 \) se dispari invece \(\displaystyle \theta_2-\theta_1 \)[/nota]
Ponendo come dice il metodo dei momenti
\(\displaystyle E[X]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i \)
\(\displaystyle E[X^2]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^2 \)
Facendo i conti viene poi
\(\displaystyle \hat{\theta}_1= \frac{1}{2n}\left[\sum_{1}^{n}x_i^2-\sum_{1}^{n}x_i\right] \)
\(\displaystyle \hat{\theta}_2= \frac{1}{2n}\left[\sum_{1}^{n}x_i^2+\sum_{1}^{n}x_i\right] \)
E poi per calcolare la distorsione ho
\(\displaystyle E[\hat{\theta}_1]=\frac{1}{2}E\left[\frac{1}{n}\left(\sum_{1}^{n}x_i^2-\sum_{1}^{n}x_i\right)\right]=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(E\left[\sum_{1}^{n}x_i^2\right]-E\left[\sum_{1}^{n}x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(nE\left[x_i^2\right]-nE\left[x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\left(E[X^2]-E[X]\right) \)
\(\displaystyle E[\hat{\theta}_2]=\frac{1}{2}E\left[\frac{1}{n}\left(\sum_{1}^{n}x_i^2+\sum_{1}^{n}x_i\right)\right]=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(E\left[\sum_{1}^{n}x_i^2\right]+E\left[\sum_{1}^{n}x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{n}\left(nE\left[x_i^2\right]+nE\left[x_i\right]\right)=\frac{1}{2}\left(E[X^2]+E[X]\right) \)
Quindi se devo stimare la varianza che è definita come \(\displaystyle Var[X]=E[X^2]-(E[X])^2 \) la conseguenza naturale del metodo è che \(\displaystyle Var[X]=\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}x_i\right)^2 \) solo che questo stimatore per la varianza è distorto, invece \(\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \) o nel caso di media conosciuta \(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{1}^{n}(x_i-\mu)^2 \) sono corretti per la varianza
Grazie mille della pazienza che dopo aver scritto qua sono andato a rileggere sul libro tutta la parte degli stimatori e penso finalmente di esserne venuto fuori
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