ANCORA PROBABILITà...COMPITINO LLUNEDì
scusate la mia durezza nell'argomento...
vi sottoporrei due problemi di probabilità
1)due fabbriche producono entrambe uno stesso oggetto.
la prima di esse produce pezzi difettosi con una frequenza del 3%, la secondo con una frequenza del 4%.un individuo compra un oggetto, il quale risuta difettoso.calcolare la probabilità che esso sia stato costruito nella prima fabbrica.
2)ad un concorrente di un gioco viene chiesto di lanciare una moneta e successivamente un dado.se nel lancio della moneta esce testa. egli vincerà un numero di euro pari al numero apparso sul dado.
nel caso in cui esca croce, egli riceverà un premio in euro pari al doppio del numero apparso sul dado.
a)calc.la prob. che il concorrente guadagni cinque euro
b)calco.la prob. che il conocrrente guadagni dieci euro
c)se il conocrrente guadagna quattro euro, calc.la prob. che sia uscito croce nel lancio della moneta
avrei bisogno di capire il ragionamento con cui si risolvono questi dannati problemi....grazie ancora
vi sottoporrei due problemi di probabilità
1)due fabbriche producono entrambe uno stesso oggetto.
la prima di esse produce pezzi difettosi con una frequenza del 3%, la secondo con una frequenza del 4%.un individuo compra un oggetto, il quale risuta difettoso.calcolare la probabilità che esso sia stato costruito nella prima fabbrica.
2)ad un concorrente di un gioco viene chiesto di lanciare una moneta e successivamente un dado.se nel lancio della moneta esce testa. egli vincerà un numero di euro pari al numero apparso sul dado.
nel caso in cui esca croce, egli riceverà un premio in euro pari al doppio del numero apparso sul dado.
a)calc.la prob. che il concorrente guadagni cinque euro
b)calco.la prob. che il conocrrente guadagni dieci euro
c)se il conocrrente guadagna quattro euro, calc.la prob. che sia uscito croce nel lancio della moneta
avrei bisogno di capire il ragionamento con cui si risolvono questi dannati problemi....grazie ancora
Risposte
Premetto che con int intendo intersezione e con uni unione.
1) In questo esercizio con PRI intendo prima fabbrica, con SEC seconda fabbrica e con DIF oggetto difettoso.
Dobbiamo calcolare: P( PRI | DIF)
Con la formula delle probabilità condizionali questo è uguale a: P(PRI int DIF)/P(DIF)
Il numeratore, sempre con la foruma delle probabilità condizionali si può scrivere come: P(DIF|PRI)P(PRI)
P(DIF|PRI)=3/100 è una dato del problema, mentre P(PRI)=1/2, in quanto se non viene specificato niente suppongo che gli oggetti siano prodotti dalle due fabbriche con la stessa probabilità.
Per quanto riguarda il denominatore: P(DIF) = P(PRI int DIF) + P(SEC int DIF) = P(DIF|PRI)P(PRI) + P(DIF|SEC)P(SEC)
questo usando sempre la stessa formula delle probabilità condizionali.
Svolgendo i calcoli:
3/100 * 1/2 + 4/100 * 1/2 = 7/200
Quindi la probabilità richiesta è:
3/200 * 200/7 = 3/7
1) In questo esercizio con PRI intendo prima fabbrica, con SEC seconda fabbrica e con DIF oggetto difettoso.
Dobbiamo calcolare: P( PRI | DIF)
Con la formula delle probabilità condizionali questo è uguale a: P(PRI int DIF)/P(DIF)
Il numeratore, sempre con la foruma delle probabilità condizionali si può scrivere come: P(DIF|PRI)P(PRI)
P(DIF|PRI)=3/100 è una dato del problema, mentre P(PRI)=1/2, in quanto se non viene specificato niente suppongo che gli oggetti siano prodotti dalle due fabbriche con la stessa probabilità.
Per quanto riguarda il denominatore: P(DIF) = P(PRI int DIF) + P(SEC int DIF) = P(DIF|PRI)P(PRI) + P(DIF|SEC)P(SEC)
questo usando sempre la stessa formula delle probabilità condizionali.
Svolgendo i calcoli:
3/100 * 1/2 + 4/100 * 1/2 = 7/200
Quindi la probabilità richiesta è:
3/200 * 200/7 = 3/7
ti ringrazio infinitamente...comincio a capire qualcosa adesso...davvero grazie.. 
Per il secondo:
a) Il concorrente vince 5 euro se e solo se esce testa e esce cinque. Il lancio del dado e della moneta sono eventi indipendenti, quindi P(vincere 5 euro) = P(esce 5) * P(esce testa) = 1/6 * 1/2 = 1/12
b)Il concorrente vince 10 euro se e solo se esce croce e esce 5, stesto ragionamento di prima, la probabilità è sempre 1/12
c) Dobbiamo calcolare: P(croce|vinti 4 euro) = P(croce int vinti 4 euro)/P(vinti 4 euro)
Il numeratore si riscrive come P(vinti 4 euro|croce)P(croce) =
se esce croce si vince 4 euro se e solo se esce 2, quindi questa probabilità è 1/6, P(croce) è 1/2, quindi il numeratore fa 1/12
Ora dobbiamo calcolare P(vinti 4 euro).
Questa è uguale a: P(vinti 4 euro) = P(esce testa int esce 4) + P(esce croce int esce 2) = P(esce 4)P(esce testa) + P(esce croce)P(esce 2) questo perché gli eventi sono indipendenti
1/6 * 1/2 + 1/2 * 1/6 = 1/6
Quindi il rilustato dell'esercizio è: 1/12 * 6 = 1/2
a) Il concorrente vince 5 euro se e solo se esce testa e esce cinque. Il lancio del dado e della moneta sono eventi indipendenti, quindi P(vincere 5 euro) = P(esce 5) * P(esce testa) = 1/6 * 1/2 = 1/12
b)Il concorrente vince 10 euro se e solo se esce croce e esce 5, stesto ragionamento di prima, la probabilità è sempre 1/12
c) Dobbiamo calcolare: P(croce|vinti 4 euro) = P(croce int vinti 4 euro)/P(vinti 4 euro)
Il numeratore si riscrive come P(vinti 4 euro|croce)P(croce) =
se esce croce si vince 4 euro se e solo se esce 2, quindi questa probabilità è 1/6, P(croce) è 1/2, quindi il numeratore fa 1/12
Ora dobbiamo calcolare P(vinti 4 euro).
Questa è uguale a: P(vinti 4 euro) = P(esce testa int esce 4) + P(esce croce int esce 2) = P(esce 4)P(esce testa) + P(esce croce)P(esce 2) questo perché gli eventi sono indipendenti
1/6 * 1/2 + 1/2 * 1/6 = 1/6
Quindi il rilustato dell'esercizio è: 1/12 * 6 = 1/2
Comunque per il punto (c) il procedimento fa soltanto da sostegno all'intuito!
generalmente i ragionamenti da fare sono questi, vero?
nel senso che più o meno sono tutti simili...speriamo bene...comunque grazie mille...
nel senso che più o meno sono tutti simili...speriamo bene...comunque grazie mille...
In bocca al lupo per lunedì!
grazie.....CREPI 
Mi inserisco in questo forum e chiedo:
C'è un treno con n carrozze e k passeggeri vi salgono a bordo in modo assolutamente casuale. Qual'è la probabilità che 3 carrozze abbiano almeno un passeggero a bordo?
C'è un treno con n carrozze e k passeggeri vi salgono a bordo in modo assolutamente casuale. Qual'è la probabilità che 3 carrozze abbiano almeno un passeggero a bordo?
I k passeggeri si distribuiscono nelle n carrozze in x modi, dove x è il binomiale di k a n. (questo funziona se k>n)
Supponiamo che tre carrozze siano vuote.
In questo caso i passeggeri si dispongono nelle restanti carrozze in y modi, dove y è il binomiale di k a n-3.
La probabilità che 3 carrozze siano vuote è y/x, quindi la probabilità che 3 carrozze abbiano almeno un passeggero a bordo è 1-y/x.
Almeno io la vedrei così...
Supponiamo che tre carrozze siano vuote.
In questo caso i passeggeri si dispongono nelle restanti carrozze in y modi, dove y è il binomiale di k a n-3.
La probabilità che 3 carrozze siano vuote è y/x, quindi la probabilità che 3 carrozze abbiano almeno un passeggero a bordo è 1-y/x.
Almeno io la vedrei così...
Con il tuo ragionamento, da quanto ho capito, se per esempio ho n=6 e k=7, si ha P=-4. Mi sembra strano!
Ora io non ci capisco nulla di probabilità... Ma Tipper ha precisato che la sua formula avrebbe funzionato con $k>n$ e nel caso tuo, Ermanno, la disuguaglianza non è verificata. Potrebbe esser per quello.
Ecco il problema. Manca la condizione $k-n>=3$.
"Tipper":
Premetto che con int intendo intersezione e con uni unione.
1) In questo esercizio con PRI intendo prima fabbrica, con SEC seconda fabbrica e con DIF oggetto difettoso.
Dobbiamo calcolare: P( PRI | DIF)
Con la formula delle probabilità condizionali questo è uguale a: P(PRI int DIF)/P(DIF)
Il numeratore, sempre con la foruma delle probabilità condizionali si può scrivere come: P(DIF|PRI)P(PRI)
P(DIF|PRI)=3/100 è una dato del problema, mentre P(PRI)=1/2, in quanto se non viene specificato niente suppongo che gli oggetti siano prodotti dalle due fabbriche con la stessa probabilità.
Per quanto riguarda il denominatore: P(DIF) = P(PRI int DIF) + P(SEC int DIF) = P(DIF|PRI)P(PRI) + P(DIF|SEC)P(SEC)
questo usando sempre la stessa formula delle probabilità condizionali.
Svolgendo i calcoli:
3/100 * 1/2 + 4/100 * 1/2 = 7/200
Quindi la probabilità richiesta è:
3/200 * 200/7 = 3/7
qui andava bene anche il teorema di Bayes...
Quello che ho usato è il teorema di Bayes, solo che usare una formula meccanicamente penso che non serva a niente, quindi ho preferito fare tutti i passaggi.
"cavallipurosangue":
Ora io non ci capisco nulla di probabilità... Ma Tipper ha precisato che la sua formula avrebbe funzionato con $k>n$ e nel caso tuo, Ermanno, la disuguaglianza non è verificata. Potrebbe esser per quello.
Corretto! Ho sbagliato tasto!!!!
"Tipper":
I k passeggeri si distribuiscono nelle n carrozze in x modi, dove x è il binomiale di k a n. (questo funziona se k>n)
Supponiamo che tre carrozze siano vuote.
In questo caso i passeggeri si dispongono nelle restanti carrozze in y modi, dove y è il binomiale di k a n-3.
La probabilità che 3 carrozze siano vuote è y/x, quindi la probabilità che 3 carrozze abbiano almeno un passeggero a bordo è 1-y/x.
Almeno io la vedrei così...
Per formalizzare correttamente:
Sia $k>n$ e $k-n>=3$. Si ha che la probabilità che 3 carrozze abbiano almeno un passeggero a bordo è:
$1-C_{k,n}/C_{k,n-3}$
Ma se k
"Tipper":
Ma se kAl denominatore verrebbe il fattoriale di un numero negativo...
Ho sbagliato di nuovo a scrivere. E' $k>n$. Corretto!
un po' troppi errori Leonardo...
Ok
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