Ancora convergenze di successioni
Sempre io con un nuovo esercizio 
(le convergenze proprio non mi vanno giù)
Testo:
Siano $(X_n)_{n>=1}$ variabili aleatorie indipendenti tali che $X_n ~ $Bernoulli$(1/n)$ e $Y ~ $Esponenziale$(2)$ indipendente da $(X_n)_{n>=1}$. Infine definiamo: $Z_n = Y + sqrt{n}X_n$.
1) Si provi che $Z_n$ converge il legge a $Y$.
2) Per quali $p>1$ si ha la convergenza in $L^p$?
3) La successione $(Z_n/n)_n$ converge quasi certamente? A cosa?
Per il punto 1, ho provato a ragionare così:
voglio studiare $mathbb{P}[Z_n<=z]=mathbb{P}[Y+sqrt{n}X_n<=z]=mathbb{P}[Y<=z-sqrt{n}X_n]=F_Y(z-sqrt{n}X_n)$
mi risulta che $F_Y(z-sqrt{n}X_n)={{: (0 , ;z-sqrt{n}X_n<0 ) , ( 1-e^{-2(z-sqrt{n}X_n)} , ;z-sqrt{n}X_n>=0 ) :}$
Premesso che non so quanto possa essere giusto, non riesco a capire come proseguire.
(le convergenze proprio non mi vanno giù)Testo:
Siano $(X_n)_{n>=1}$ variabili aleatorie indipendenti tali che $X_n ~ $Bernoulli$(1/n)$ e $Y ~ $Esponenziale$(2)$ indipendente da $(X_n)_{n>=1}$. Infine definiamo: $Z_n = Y + sqrt{n}X_n$.
1) Si provi che $Z_n$ converge il legge a $Y$.
2) Per quali $p>1$ si ha la convergenza in $L^p$?
3) La successione $(Z_n/n)_n$ converge quasi certamente? A cosa?
Per il punto 1, ho provato a ragionare così:
voglio studiare $mathbb{P}[Z_n<=z]=mathbb{P}[Y+sqrt{n}X_n<=z]=mathbb{P}[Y<=z-sqrt{n}X_n]=F_Y(z-sqrt{n}X_n)$
mi risulta che $F_Y(z-sqrt{n}X_n)={{: (0 , ;z-sqrt{n}X_n<0 ) , ( 1-e^{-2(z-sqrt{n}X_n)} , ;z-sqrt{n}X_n>=0 ) :}$
Premesso che non so quanto possa essere giusto, non riesco a capire come proseguire.
Risposte
Ovviamente il teorema di Slutsky è il "first best" ed è sicuramente ciò che il tuo insegnante vorrebbe da te.....basta verificare che $sqrt(n)X_n$ converge in probabilità a zero o, ciò che è lo stesso, in Legge, come in effetti è.
Volendo risolverlo in modo "ruspante" come hai fatto tu puoi farlo tranquillamente, basta sapere come trattare le funzioni di variabili aleatorie[nota]probabilimente un bel ripasso non ti farebbe male, puoi guardare anche qui sul forum dove ci sono centinaia di esempi risolti e commentati[/nota]
$F_(Z_n)(z)=mathbb{P}[Z_n<=z]=mathbb{P}[Y<=z|X_n=0]mathbb{P}[X_n=0]+mathbb{P}[Y<=z-sqrt(n)|X_n=1]mathbb{P}[X_n=1]$
passando al limite ottieni evidentemente $F_(Z_n)(z)=F_Y(z)$ essendo $mathbb{P}(X_n=0) rarr 1$
2) ti lascio ragionare, non mi pare presenti particolari difficoltà
3) hint: certo che se le variabili $Y/n$ e $X_n/sqrt(n)$ convergessero entrambe q.c. a zero a me piacerebbe[nota]infatti potrei applicare il seguente ed utile
Es: $sum_(n=1)^(+oo)mathbb{P}[Y/n>epsilon]=sum_(n=1)^(+oo)e^(-2epsilon n)=sum_(n=1)^(+oo)q^n<+oo$
avendo posto $q=e^(-2epsilon) in (0;1)$
per la prima variabile tutto ok, la serie converge e quindi nessun problema, la successione converge a.s. a zero.
per la seconda, che evidentemente converge in probabilità a zero, scegliendo opportunamente un $epsilon<1/sqrt(n)$
$mathbb{P}[X_n/sqrt(n)>epsilon]=mathbb{P}[X_n>epsilonsqrt(n)]=1/n$
Applicando il primo lemma di Borel Cantelli otteniamo
$sum_(n=1)^(+oo)mathbb{P}[X_n/sqrt(n)>epsilon]<=sum_(n=1)^(floor(1/epsilon^2))1/n
... e quindi concludiamo che la successione data converge quasi certamente a zero.
Volendo risolverlo in modo "ruspante" come hai fatto tu puoi farlo tranquillamente, basta sapere come trattare le funzioni di variabili aleatorie[nota]probabilimente un bel ripasso non ti farebbe male, puoi guardare anche qui sul forum dove ci sono centinaia di esempi risolti e commentati[/nota]
$F_(Z_n)(z)=mathbb{P}[Z_n<=z]=mathbb{P}[Y<=z|X_n=0]mathbb{P}[X_n=0]+mathbb{P}[Y<=z-sqrt(n)|X_n=1]mathbb{P}[X_n=1]$
passando al limite ottieni evidentemente $F_(Z_n)(z)=F_Y(z)$ essendo $mathbb{P}(X_n=0) rarr 1$
2) ti lascio ragionare, non mi pare presenti particolari difficoltà
3) hint: certo che se le variabili $Y/n$ e $X_n/sqrt(n)$ convergessero entrambe q.c. a zero a me piacerebbe[nota]infatti potrei applicare il seguente ed utile
Teorema: Se $X_n\stackrel("q.c. ")rarr X$, $Y_n\stackrel("q.c. ")rarr Y$, $g: RR^2 rarr RR$ continua,[/nota]!
allora $g(X_n,Y_n)\stackrel("q.c. ")rarr g(X,Y)$
Es: $sum_(n=1)^(+oo)mathbb{P}[Y/n>epsilon]=sum_(n=1)^(+oo)e^(-2epsilon n)=sum_(n=1)^(+oo)q^n<+oo$
avendo posto $q=e^(-2epsilon) in (0;1)$
per la prima variabile tutto ok, la serie converge e quindi nessun problema, la successione converge a.s. a zero.
per la seconda, che evidentemente converge in probabilità a zero, scegliendo opportunamente un $epsilon<1/sqrt(n)$
$mathbb{P}[X_n/sqrt(n)>epsilon]=mathbb{P}[X_n>epsilonsqrt(n)]=1/n$
Applicando il primo lemma di Borel Cantelli otteniamo
$sum_(n=1)^(+oo)mathbb{P}[X_n/sqrt(n)>epsilon]<=sum_(n=1)^(floor(1/epsilon^2))1/n
... e quindi concludiamo che la successione data converge quasi certamente a zero.
Adesso mi metto li e ripasso per bene... comunquw Slutsky l'ho letto per la prima volta ieri sera, non ci è mai stato introdotto... eppure, leggendolo, sembra semplificare la vita in alcuni esercizi
Grazie mille ragazzi.
Grazie mille ragazzi.
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