Alcuni problemi di combinatoria e di probabilità classica
Esercizio 1.
In un mazzo di n chiavi ce ne sono 2 che aprono una
porta; si cerca di aprirla provando successivamente tutte le chiavi.
a)Calcolare la probabilità di riuscire al k-esimo tentativo.
b)E se le chiavi adatte fossero r
( dove 2 < r $<=$ n) ?
Allora in classe io sono stato assente e mi hanno passato questa soluzione, ma non riesco a capire il ragionamento ma sembra la distribuzione ipergeometrica:
1a)P(1° chiave che apre al k-esimo posto)=$\frac{(n-k)(n-2)!}{n!}$
allora $n!$ sotto dovrebbe essere la cardinalità dello spazio degli eventi $| S |$ ed è n! perché sono i possibili ordinamenti che le chiavi possono assumere. sopra è complicato (n-k) penso che sono le chiavi rimanenti, dopo k tentativi( compresa anche la chiave):Es.se io so che le chiavi sono 10 e al k-esimo tentativo apro la porta e mettiamo che è 7, 10-7=3 sono le chiavi rimanenti! $(n-2)!$ non lo comprendo è come se toglie le 2 chiavi che aprono la porta e scarta piano piano le restanti.Se qualcuno può mi può spiegare passo passo la logica e il ragionamento di questo problema.
1b)la soluzione è P(r-1) = $\frac{(n-r)!((n-k),(r-1))}{n!}$
penso che sia analogo a quello sopra se me lo spiegate mi fate un favore.
Esercizio2
In un’urna ci sono n palle numerate con n interi consecutivi.
Vengono estratte cinque palle, sequenzialmente e senza rimpiazzo.
a)Trovare la probabilità che i numeri estratti formino una successione
di cinque interi consecutivi.
b)Trovare la probabilità che i numeri estratti formino una successione di tre interi consecutivi e un’altra non adiacente di due interi consecutivi. (Per esempio, 3,4,5,7,8 or 2,3,7,8,9.)
Le cinque palle vengono estratte in blocco.
c)Trovare la probabilità che i numeri estratti possano essere ordinati per formare una successione di cinque interi consecutivi.
d)Trovare la probabilità che i numeri estratti possano essere ordinati per formare una successione di tre interi consecutivi e un’altra non
adiacente di due interi consecutivi.
soluzione 2a) questa è piuttosto semplice mettiamo che n = 90 io per fare una sequenza posso prendere 86 numeri su 90 ( esempio 86,87,88,89,90), altrimenti se il primo numero fosse 87 non potrei fare la sequenza di 5 numeri, quindi $86/90$ per il primo punto, poi per i restanti devo prendere proprio quel numero successivo al precedente che sarà 1 solo $1/89,1/88,...,1/86$ quindi per il caso generale la formula è:
$\frac{n-4 * 1 * 1 * 1 *1}{n * (n - 1) * ... * (n-4)}$
la soluzione che mi è stata data è $ \frac{n-4}\frac{n!}{n-5!} $ che facendo lo svolgimento e le dovute semplificazioni ho scoperto che è analoga a quella che ho fatto io.
2b) la soluzione del prof è la seguente:
$\frac{(n-5)(n-4)*2}\frac{2}\frac{n!}{n-5}$ qui non ho capito 2 cose:
la prima: perché fa diviso 2 ? la moltiplicazione lho capita perché io posso avere una sequenza di 3 e 2 oppure una di 2 e 3, ma il diviso 2 non lho capito.
la seconda perché $(n-5)*(n-4)$? io avrei preso ${n-2} / n$ per il primo numero della sequenza di 3 e ${n-4}/{n-3}$ per il primo della sequenza di 2. $n-4$ perché tolgo i numeri della prima sequenza e poi quello che non fa combaciare la sequenza.Ma a quanto pare è sbagliato, anche qui un bel chiarimento non sarebbe sbagliato!
il punto c) è che l'ordine non conta e mi pare comprensibile la soluzione è ${(n-4)*5!}/{((n),(5))}$ n prendo 5 perchè estraggo 5 palle senza ordine, invece per sopra (n-4) è per quello che ho detto per il punto a) per 5! che sono i possibili ordinamenti per ogni numero estratto.
il punto d) la soluzione è ${(n-5)3!(n-4)2!}/{((n),(5))}$ quando capirò il punto b) questa mi risulterà facile.
Esercizio 3:
In una fila di 6 sedili devono sedersi 6 studenti, 3 maschi e 3 femmine.
a)In quanti modi possono sedersi nei vari casi?
1. Senza restrizioni;
2. maschi vicini tra loro e femmine vicine tra loro;
3. maschi vicini tra loro;
4. studenti dello stesso sesso non devono stare vicini.
b)Se si dispongono casualmente, qual e la probabilità che
1. i maschi capitino tutti vicini?
2. studenti dello stesso sesso non capitino vicini?
a1)mia soluzione $6!$
a2)mia soluzione $3!3!2$
a3) qui ho un dubbio a me viene $3!3!4$ e vorrei sapere se è giusto, vi dico come lo vedo io:
vari ordinamenti
$M_1M_2M_3F_1F_2F_3$
$F_1M_1M_2M_3F_2F_3$
$F_1F_2M_1M_2M_3F_3$
$F_1F_2F_3M_1M_2M_3$
allora 3! per ordinare i maschi 3! per ordinare le femmine e il blocco dei maschi può avere 4 posizionamenti diversi come ho mostrato sopra! è corretto?
a4) mia soluzione $3!3!2$
b1) dovrebbe essere ${3!*3!*4}/{6!}$ è corretto?
b2) dovrebbe essere ${3!*3!*2}/{6!}$ è corretto?
l'unico dubbio di questi ultimi sono se è 6! sotto!
Esercizio4:
Un’urna contiene 6 palline bianche e 9 palline nere. Se
si scelgono a caso 4 palline senza rimpiazzo, qual e la probabilità che le
prime due siano bianche e le ultime due siano nere?
qui ordine conta e la soluzione dovrebbe essere ${6*5*9*8}/{15*14*13*12}$ però non so come scriverla sotto formula se mi date una mano ve ne sarei grato.
Esercizio5:
Consideriamo il grafo completo con quattro vertici $K_4$;
tutti i vertici sono connessi da un arco a tutti gli altri vertici. Si lancia
un moneta bilanciata per ogni arco. Se viene croce, l’arco viene rimosso.
a. qual'è la probabilità che due vertici dati siano ancora connessi
dopo questa procedura?
b. qual'è la probabilità che il grafo rimanga connesso?
c. qual'è la probabilità che un dato vertice rimanga isolato?
questo l'ho trovato molto complicato e molto ambiguo nei punti richiesti, se si disegna il grafo a me viene un grafo della forma rettangolare con due archi interni che formano due diagonali.Se non capite come è fatto vi posso mandare una foto.
a)allora ora è capire cosa vuole veramente sapere:
prendiamo a caso due vertici u,v , vuole sapere se i due vertici sono connessi direttamente, cioè sono adiacenti l'uno con l'altro o è possibile partendo da u arrivare a v attraverso un cammino e viceversa( def. di grafo connesso)?
Io ho optato per il primo in questo caso dovrebbe essere $1/2$ io tiro la monetina per l'arco che collega $u~v$ se esce croce l'arco viene rimosso altrimenti no. Gli altri sono indipendenti e non contano, ma questa è una mia interpretazione del testo.
b) allora io ho 4 vertici e a nessuno di loro devono essere rimossi tutti gli archi che sono 3 per ogni vertice.6 sono gli archi totali.A me basta un vertice che è isolato per dire che è sconnesso.Sicuramente è sbagliato, ma se faccio il complementare della probabilità che un vertice rimanga isolato è $1-{1/8}$ ditemi come si fa.
c) $1/8$ dovrebbe essere la soluzione
Esercizio 6:
In un cassetto ci sono 10 guanti sinistri e 12 guanti destri. Prendiamo 4 guanti a caso. Trovare la probabilità che di avere due paia di guanti.
questo dovrebbe essere semplice e la soluzione è
$ {((10),(2))((12),(2))}/{((22),(4))}$
l'ordine non conta prendo 4 guanti da 22, 2 su 10 possono essere sinistri e 2 su 12 destri questi ultimi sono gli eventi favorevoli, siete d'accordo!
Ringrazio chiunque mi darà una mano a capire gli esercizi dove ho dubbi.
In un mazzo di n chiavi ce ne sono 2 che aprono una
porta; si cerca di aprirla provando successivamente tutte le chiavi.
a)Calcolare la probabilità di riuscire al k-esimo tentativo.
b)E se le chiavi adatte fossero r
( dove 2 < r $<=$ n) ?
Allora in classe io sono stato assente e mi hanno passato questa soluzione, ma non riesco a capire il ragionamento ma sembra la distribuzione ipergeometrica:
1a)P(1° chiave che apre al k-esimo posto)=$\frac{(n-k)(n-2)!}{n!}$
allora $n!$ sotto dovrebbe essere la cardinalità dello spazio degli eventi $| S |$ ed è n! perché sono i possibili ordinamenti che le chiavi possono assumere. sopra è complicato (n-k) penso che sono le chiavi rimanenti, dopo k tentativi( compresa anche la chiave):Es.se io so che le chiavi sono 10 e al k-esimo tentativo apro la porta e mettiamo che è 7, 10-7=3 sono le chiavi rimanenti! $(n-2)!$ non lo comprendo è come se toglie le 2 chiavi che aprono la porta e scarta piano piano le restanti.Se qualcuno può mi può spiegare passo passo la logica e il ragionamento di questo problema.
1b)la soluzione è P(r-1) = $\frac{(n-r)!((n-k),(r-1))}{n!}$
penso che sia analogo a quello sopra se me lo spiegate mi fate un favore.
Esercizio2
In un’urna ci sono n palle numerate con n interi consecutivi.
Vengono estratte cinque palle, sequenzialmente e senza rimpiazzo.
a)Trovare la probabilità che i numeri estratti formino una successione
di cinque interi consecutivi.
b)Trovare la probabilità che i numeri estratti formino una successione di tre interi consecutivi e un’altra non adiacente di due interi consecutivi. (Per esempio, 3,4,5,7,8 or 2,3,7,8,9.)
Le cinque palle vengono estratte in blocco.
c)Trovare la probabilità che i numeri estratti possano essere ordinati per formare una successione di cinque interi consecutivi.
d)Trovare la probabilità che i numeri estratti possano essere ordinati per formare una successione di tre interi consecutivi e un’altra non
adiacente di due interi consecutivi.
soluzione 2a) questa è piuttosto semplice mettiamo che n = 90 io per fare una sequenza posso prendere 86 numeri su 90 ( esempio 86,87,88,89,90), altrimenti se il primo numero fosse 87 non potrei fare la sequenza di 5 numeri, quindi $86/90$ per il primo punto, poi per i restanti devo prendere proprio quel numero successivo al precedente che sarà 1 solo $1/89,1/88,...,1/86$ quindi per il caso generale la formula è:
$\frac{n-4 * 1 * 1 * 1 *1}{n * (n - 1) * ... * (n-4)}$
la soluzione che mi è stata data è $ \frac{n-4}\frac{n!}{n-5!} $ che facendo lo svolgimento e le dovute semplificazioni ho scoperto che è analoga a quella che ho fatto io.
2b) la soluzione del prof è la seguente:
$\frac{(n-5)(n-4)*2}\frac{2}\frac{n!}{n-5}$ qui non ho capito 2 cose:
la prima: perché fa diviso 2 ? la moltiplicazione lho capita perché io posso avere una sequenza di 3 e 2 oppure una di 2 e 3, ma il diviso 2 non lho capito.
la seconda perché $(n-5)*(n-4)$? io avrei preso ${n-2} / n$ per il primo numero della sequenza di 3 e ${n-4}/{n-3}$ per il primo della sequenza di 2. $n-4$ perché tolgo i numeri della prima sequenza e poi quello che non fa combaciare la sequenza.Ma a quanto pare è sbagliato, anche qui un bel chiarimento non sarebbe sbagliato!
il punto c) è che l'ordine non conta e mi pare comprensibile la soluzione è ${(n-4)*5!}/{((n),(5))}$ n prendo 5 perchè estraggo 5 palle senza ordine, invece per sopra (n-4) è per quello che ho detto per il punto a) per 5! che sono i possibili ordinamenti per ogni numero estratto.
il punto d) la soluzione è ${(n-5)3!(n-4)2!}/{((n),(5))}$ quando capirò il punto b) questa mi risulterà facile.
Esercizio 3:
In una fila di 6 sedili devono sedersi 6 studenti, 3 maschi e 3 femmine.
a)In quanti modi possono sedersi nei vari casi?
1. Senza restrizioni;
2. maschi vicini tra loro e femmine vicine tra loro;
3. maschi vicini tra loro;
4. studenti dello stesso sesso non devono stare vicini.
b)Se si dispongono casualmente, qual e la probabilità che
1. i maschi capitino tutti vicini?
2. studenti dello stesso sesso non capitino vicini?
a1)mia soluzione $6!$
a2)mia soluzione $3!3!2$
a3) qui ho un dubbio a me viene $3!3!4$ e vorrei sapere se è giusto, vi dico come lo vedo io:
vari ordinamenti
$M_1M_2M_3F_1F_2F_3$
$F_1M_1M_2M_3F_2F_3$
$F_1F_2M_1M_2M_3F_3$
$F_1F_2F_3M_1M_2M_3$
allora 3! per ordinare i maschi 3! per ordinare le femmine e il blocco dei maschi può avere 4 posizionamenti diversi come ho mostrato sopra! è corretto?
a4) mia soluzione $3!3!2$
b1) dovrebbe essere ${3!*3!*4}/{6!}$ è corretto?
b2) dovrebbe essere ${3!*3!*2}/{6!}$ è corretto?
l'unico dubbio di questi ultimi sono se è 6! sotto!
Esercizio4:
Un’urna contiene 6 palline bianche e 9 palline nere. Se
si scelgono a caso 4 palline senza rimpiazzo, qual e la probabilità che le
prime due siano bianche e le ultime due siano nere?
qui ordine conta e la soluzione dovrebbe essere ${6*5*9*8}/{15*14*13*12}$ però non so come scriverla sotto formula se mi date una mano ve ne sarei grato.
Esercizio5:
Consideriamo il grafo completo con quattro vertici $K_4$;
tutti i vertici sono connessi da un arco a tutti gli altri vertici. Si lancia
un moneta bilanciata per ogni arco. Se viene croce, l’arco viene rimosso.
a. qual'è la probabilità che due vertici dati siano ancora connessi
dopo questa procedura?
b. qual'è la probabilità che il grafo rimanga connesso?
c. qual'è la probabilità che un dato vertice rimanga isolato?
questo l'ho trovato molto complicato e molto ambiguo nei punti richiesti, se si disegna il grafo a me viene un grafo della forma rettangolare con due archi interni che formano due diagonali.Se non capite come è fatto vi posso mandare una foto.
a)allora ora è capire cosa vuole veramente sapere:
prendiamo a caso due vertici u,v , vuole sapere se i due vertici sono connessi direttamente, cioè sono adiacenti l'uno con l'altro o è possibile partendo da u arrivare a v attraverso un cammino e viceversa( def. di grafo connesso)?
Io ho optato per il primo in questo caso dovrebbe essere $1/2$ io tiro la monetina per l'arco che collega $u~v$ se esce croce l'arco viene rimosso altrimenti no. Gli altri sono indipendenti e non contano, ma questa è una mia interpretazione del testo.
b) allora io ho 4 vertici e a nessuno di loro devono essere rimossi tutti gli archi che sono 3 per ogni vertice.6 sono gli archi totali.A me basta un vertice che è isolato per dire che è sconnesso.Sicuramente è sbagliato, ma se faccio il complementare della probabilità che un vertice rimanga isolato è $1-{1/8}$ ditemi come si fa.
c) $1/8$ dovrebbe essere la soluzione
Esercizio 6:
In un cassetto ci sono 10 guanti sinistri e 12 guanti destri. Prendiamo 4 guanti a caso. Trovare la probabilità che di avere due paia di guanti.
questo dovrebbe essere semplice e la soluzione è
$ {((10),(2))((12),(2))}/{((22),(4))}$
l'ordine non conta prendo 4 guanti da 22, 2 su 10 possono essere sinistri e 2 su 12 destri questi ultimi sono gli eventi favorevoli, siete d'accordo!
Ringrazio chiunque mi darà una mano a capire gli esercizi dove ho dubbi.
Risposte
1a)
Supponiamo di avere $ n=3 $ chiavi, di cui $2$ aprono la porta.
La probabilità di aprire con la prima chiave (k=1) è ovviamente $ = 2/3 $ (casi favorevoli/casi totali).
Al secondo tentativo (k=2) i casi favorevoli sono 1 e la probabilità sarà $ 1 - 2/3 = 1/3 $ perché fallendo la prima chiave, le altre due sono entrambe buone.
Lo stesso ragionamento si può fare con 3, 4, ..., n chiavi
Ad ogni tentativo k, i casi favorevoli sono $ (n-k) $ e i casi totali sono le coppie di chiavi che si possono formare, cioè $ C(n,2) = (n*(n-1))/2 $
Di conseguenza, la probabilità di aprire la porta ad ogni kesimo tentativo è:
$ p = ((n-k))/(C(n,2)) = (2*(n-k))/(n*(n-1)) $
Poiché $ n! = n*(n-1)*(n-2)! $
la formula precedente si può scrivere:
$ p = (2*(n-k)*(n-2)!)/(n!) $
Quindi la formula da te scritta dovrebbe essere moltiplicata per 2
2a)
Analogamente si può ragionare se le chiavi adatte sono $ r$
In questo caso le combinazioni favorevoli al tentativo $k$ sono $C(n-k,r-1)$ e quelle totali sono $C(n,r)$
$ p = (C(n-k,r-1))/(C(n,r)) $
che è uguale alla tua formula se la moltiplichi per il numero delle chiavi buone $r$
Supponiamo di avere $ n=3 $ chiavi, di cui $2$ aprono la porta.
La probabilità di aprire con la prima chiave (k=1) è ovviamente $ = 2/3 $ (casi favorevoli/casi totali).
Al secondo tentativo (k=2) i casi favorevoli sono 1 e la probabilità sarà $ 1 - 2/3 = 1/3 $ perché fallendo la prima chiave, le altre due sono entrambe buone.
Lo stesso ragionamento si può fare con 3, 4, ..., n chiavi
Ad ogni tentativo k, i casi favorevoli sono $ (n-k) $ e i casi totali sono le coppie di chiavi che si possono formare, cioè $ C(n,2) = (n*(n-1))/2 $
Di conseguenza, la probabilità di aprire la porta ad ogni kesimo tentativo è:
$ p = ((n-k))/(C(n,2)) = (2*(n-k))/(n*(n-1)) $
Poiché $ n! = n*(n-1)*(n-2)! $
la formula precedente si può scrivere:
$ p = (2*(n-k)*(n-2)!)/(n!) $
Quindi la formula da te scritta dovrebbe essere moltiplicata per 2
2a)
Analogamente si può ragionare se le chiavi adatte sono $ r$
In questo caso le combinazioni favorevoli al tentativo $k$ sono $C(n-k,r-1)$ e quelle totali sono $C(n,r)$
$ p = (C(n-k,r-1))/(C(n,r)) $
che è uguale alla tua formula se la moltiplichi per il numero delle chiavi buone $r$
Per gli esercizi 3-4-6 le soluzioni sono tutte corrette.
Però non so scriverti la formula del 4.
Però non so scriverti la formula del 4.
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