Alcuni esercizi

[Diploz]

Buongiorno. Sono in crisi con questi esercizi.

Il primo è
Sia $ A∨B ⊆ E $ . Quanto deve valere $ P(E) $ affinché si abbia $ P[(notA ∧notB)|E] = P(A∨B), $ , sapendo che A e B sono stocasticamente indipendenti e $ P(A) = P(B) = 1/4 $ .

Calcolo $ P(AVB)=7/16 $ . Mi trovo(stupidamente) spiazzato su come ricavare P(E). Ho il risultato che è $ 7/9 $ e quindi immagino che per trovare $ P(E) $ debba avere una situazione del genere : $ (P(AVB))/(P((notA) and (notB)) $ dove al denominatore abbiamo $ 9/16 $

Poi il secondo esercizio sono due Vero/Falso:
Dati due eventi A, B tali che $ P(A) = 1/3, P(B|A) = 1/6, P(A|B) = 1/4 $ , stabilire se ognuna delle seguenti affermazioni `e vera o falsa:

$ 1) P(notA|notB) = 0 $
$ 2) P(A|B) + P(A|notB) = 1 $

Secondo le soluzioni 1) è vera e 2) è falsa. Per la 2) io so che un evento più il suo contrario sia proprio =1 mentre per la 1) non capisco come venga quel risultato. Se qualcuno ha possibilità di rispondermi , sarei grato!
Grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

1)

basta conoscere i primi elementi di calcolo delle probabilità per verificare immediatamente che, sotto le ipotesi della traccia:

$P(bar(A) nn bar(B) |E)=(P(bar(A uu B) nn E))/(P(E))=P(A uu B)$

$(P(E)-7/16)/(P (E)) =7/16 rarr P(E)=7/9$

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2) al di là di ciò che dice la traccia, secondo me le due affermazioni sono entrambe false:

intanto completiamo i dati del problema

$P(B)=2/9$

$P(A uu B)=1/2$

iniziamo con la prima affermazione:

$P(bar(A)|bar(B))=(P(bar(A uu B)))/(P(bar(B)))=0 harr P(A uu B)=1$

ma non è il caso della traccia....

Prendiamo ora la seconda: affinchè valga

$P(A|B)+P(A|bar(B))=(P(A nn B))/(P(B))+(P(A nn bar(B)))/(P(bar(B)))=1$

occorre che $P(B)=P(A)=1/2$

....ma anche questo non è il caso dell'esercizio

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1) devi considerare che per ipotesi è $(A uu B) sube E $ e quindi $ P (bar (A uu B) nn E)= P (E)-P (A uu B) $ che corrisponde all'area grigia nella seguente immagine





2) $ P (A) P (B|A)=P (B) P (A|B) $

...e quindi ci sono tutti i dati necessari.

saluti

[Diploz]

Grazie tommik, sempre gentile!

Mi rimangono due dubbi. Sul primo esercizio non ho capito i passaggi per arrivare a P(E).

Sul secondo invece ho capito i procedimenti ma ho il dubbio solo su P(B). Per trovare P(B) si utilizza il teorema della probabilità totale. Perciò:

$ P(B)= P(A)P(B|A)+P(A')P(B|A') $ abbiamo tutti i dati tranne $ P(B|A') $ che ho supposto fosse $ = 1-P(B|A) $ Dal tuo risultato si evince che $ P(B|A')=P(A|B) $ . Non capisco i passaggi per arrivarci.