Alcune probabilità

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Ho qualche perplessità su due esercizi di calcolo delle probabilità che trovo sul mio libro di logica.
Trovo scritto che\[P(A|B\lor C)=\frac{P(A\land B)+P(A\land C)+P(A\land B\land C)}{P(B)+P(C)-P(B\land C)}\]dove non mi spiego il numeratore. Io avrei calcolato\[P(A|B\lor C)=\frac{P(A\land(B\lor C))}{P(B\lor C)}=\frac{P((A\land B)\lor(A\land C))}{P(B\lor C)}\]\[=\frac{P(A\land B)+P(A\land C)-P((A\land B)\land (A\land C))}{P(B\lor C)}=\frac{P(A\land B)+P(A\land C)-P(A\land B\land C)}{P(B)+P(C)-P(B\land C)}\]O do i numeri?

L'altro esercizio che mi lascia perplesso propone di dimostrare che, se $A$ è una conseguenza vero-funzionale di $B$, allora \(P(A)\leq P(B)\). Se $A$ è una conseguenza vero-funzionale di $B$ allora \(P(A\land B)=P(B)\) e quindi direi che, se \(P(A)>0\), si abbia \(P(B)=P(A\land B)=P(B|A)P(A)\) con \(P(B|A)\leq 1\), mentre se \(P(A)=0\) anche \(P(A\land B)=0\), perciò a me sembrerebbe che valga piuttosto in generale \(P(A)\geq P(B)\): sbaglio?

$\infty$ grazie a tutti!!!

[Seneca1]

Per la prima questione: dici bene, c'è un errore di segno.

Se "conseguenza vero-funzionale" significa che $B \to A$ (implicazione tra eventi) che è equivalente a $B \wedge A = B$ ed è equivalente anche a $\Omega = \overline{B} \vee A$ (dove $\Omega$ è l'evento certo). Usando quest'ultima, si trova che
\[ 1 = P(\Omega) = P(\overline{B} \vee A) = P(\overline{B}) + P(A) - P(\overline{B} \wedge A) \le 1 - P(B) + P(A) + 0 \;.\]
Quindi
\[ P(B) \le P(A) \;.\]

[DavideGenova1]

"Seneca":Se "conseguenza vero-funzionale" significa che $B \to A$

Sì: significa che non si dà il caso che $A$ sia falsa e $B$ vera, identificando, come fanno gli autori del mio manuale di logica, la probabilità che un'asserzione sia vera con la probabilità che l'evento accada.
Allora non davo i numeri... In effetti mi sembrava talmente sospetto: se $A$ può essere vera anche quando $B$ non lo è, mi chiedevo come potesse essere meno probabile di $B$...
\(\infty\) grazie!!!