Aiuto su esercizio
Avrei bisogno di un aiuto nello svolgimento del seguente esercizio.
Una classe è composta da 30 alunni, di cui 5 sono studenti eccellenti, 15 sono buoni e 10 sono medi (dove: eccellente >buono>medio).
Si interroga l’alunno R e poi l’alunno S. Calcolare la probabilità che S sia migliore di R.
Pur non essendo certo della validità di quanto fatto, vi propongo di seguito la mia soluzione, scusandomi per eventuali errori.
$E={"alunni eccellenti"}, B={"alunni buoni"}, M={"alunni medi"}$
$S>R iff {[(S in E) ^^ (R in B)] vv [(S in E) ^^ (R in M)] vv [(S in B) ^^ (R in M)]}$
$P(S>R)=P{[(S in E) nn (R in B)] uu [(S in E) nn (R in M)] uu [(S in B) nn (R in M)]}$
Stante l'incompatibilità dei tre eventi $[(S in E) nn (R in B)]$, $[(S in E) nn (R in M)]$ e $[(S in B) nn (R in M)]$ (in quanto i tre insiemi $E$, $B$, e $M$ sono a due a due disgiunti), posso passare dalla probabilità dell'unione alla somma delle probabilità.
$P(S>R)=P[(S in E) nn (R in B)] + P[(S in E) nn (R in M)] +P[(S in B) nn (R in M)]=
=P[(S in E)|(R in B)]*P(R in B) + P[(S in E)|(R in M)]*P(R in M) +P[(S in B)|(R in M)]*P(R|M)=
=5/29*1/2+5/29*1/3+15/29*1/3=55/174$
Vorrei sottolineare che, per come ho interpretato il problema, il fatto che R sia interrogato prima di S non cambia il senso né lo svolgimento dell'esercizio: nulla sarebbe cambiato se ci fosse stato detto "R ed S vengono interrogati" o "S viene interrogato prima di R". Correggetemi se sbaglio.
Ammesso che questo sia effettivamente il risultato giusto, non ho usato il teorema delle probabilità totali come da suggerimento: c'è una soluzione alternativa?
Ad ogni modo, segnalatemi pure eventuali errori logici e/o concettuali e/o di calcolo, proponendomi l'eventuale correzione.
Grazie in anticipo.
Una classe è composta da 30 alunni, di cui 5 sono studenti eccellenti, 15 sono buoni e 10 sono medi (dove: eccellente >buono>medio).
Si interroga l’alunno R e poi l’alunno S. Calcolare la probabilità che S sia migliore di R.
Suggerimento: si utilizzi il teorema delle probabilità totali
Pur non essendo certo della validità di quanto fatto, vi propongo di seguito la mia soluzione, scusandomi per eventuali errori.
$E={"alunni eccellenti"}, B={"alunni buoni"}, M={"alunni medi"}$
$S>R iff {[(S in E) ^^ (R in B)] vv [(S in E) ^^ (R in M)] vv [(S in B) ^^ (R in M)]}$
$P(S>R)=P{[(S in E) nn (R in B)] uu [(S in E) nn (R in M)] uu [(S in B) nn (R in M)]}$
Stante l'incompatibilità dei tre eventi $[(S in E) nn (R in B)]$, $[(S in E) nn (R in M)]$ e $[(S in B) nn (R in M)]$ (in quanto i tre insiemi $E$, $B$, e $M$ sono a due a due disgiunti), posso passare dalla probabilità dell'unione alla somma delle probabilità.
$P(S>R)=P[(S in E) nn (R in B)] + P[(S in E) nn (R in M)] +P[(S in B) nn (R in M)]=
=P[(S in E)|(R in B)]*P(R in B) + P[(S in E)|(R in M)]*P(R in M) +P[(S in B)|(R in M)]*P(R|M)=
=5/29*1/2+5/29*1/3+15/29*1/3=55/174$
Vorrei sottolineare che, per come ho interpretato il problema, il fatto che R sia interrogato prima di S non cambia il senso né lo svolgimento dell'esercizio: nulla sarebbe cambiato se ci fosse stato detto "R ed S vengono interrogati" o "S viene interrogato prima di R". Correggetemi se sbaglio.
Ammesso che questo sia effettivamente il risultato giusto, non ho usato il teorema delle probabilità totali come da suggerimento: c'è una soluzione alternativa?
Ad ogni modo, segnalatemi pure eventuali errori logici e/o concettuali e/o di calcolo, proponendomi l'eventuale correzione.
Grazie in anticipo.
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