Aiuto soluzione problema prob. condizionata
Salve, ho un esercizio da risolvere, il testo è il seguente:
Un negozio di ferramenta vende due tipi di scatole di bulloni, scatole con bulloni di tipo A, e scatole con bulloni di tipo B, entrambe le confezioni contengono 10 pezzi. La probabilità che un bullone di tipo A sia difettoso è 0.1, mentre quella che uno di tipo B sia difettoso è 0.2. Se acquistando 2 confezioni di bulloni, una di tipo A ed una di tipo B, ed aprendone una a caso, al suo interno non ci siano bulloni difettosi, quale è la probabilità che si tratti di una confezioni di tipo A?
Io ho risolto in questa maniera:
Sia E={L'evento che aprendo una scatola a caso non trovi al suo interno bulloni difettosi}
Sia A={L'evento che abbia scelto una scatola di tipo A} --> $P(A)=1/2$
Sia B={L'evento che abbia scelto una scatola di tipo B} -->$P(B)=1/2$
$P(A|E)=1-P(B|E)=1-(1/2*(8/10)^10)$
La soluzione del problema è però data in un altro modo, che a quanto pare porta ad un risultato differente dal mio:
$P(B^C|E)=(P(E|B)*P(B))/(P(B)*P(E|B)+P(B^C)*P(E|B^C))=(1/2*(0.8)^10)/(1/2*(0.8^10+0.9^10))$
Adesso, a parte il fatto che se volessimo considerare il tutto nell'ottica di ("casi favorevoli"/"casi possibili") al numeratore dovrebbe andare la probabilità condizionata con A e non con B, per il resto non riesco a capire come mai questa soluzione non mi sconfinferi, magari sono io che non la capisco e la mia è totalmente sbagliata, magari il contrario... Chiedo aiuto!!!
Un negozio di ferramenta vende due tipi di scatole di bulloni, scatole con bulloni di tipo A, e scatole con bulloni di tipo B, entrambe le confezioni contengono 10 pezzi. La probabilità che un bullone di tipo A sia difettoso è 0.1, mentre quella che uno di tipo B sia difettoso è 0.2. Se acquistando 2 confezioni di bulloni, una di tipo A ed una di tipo B, ed aprendone una a caso, al suo interno non ci siano bulloni difettosi, quale è la probabilità che si tratti di una confezioni di tipo A?
Io ho risolto in questa maniera:
Sia E={L'evento che aprendo una scatola a caso non trovi al suo interno bulloni difettosi}
Sia A={L'evento che abbia scelto una scatola di tipo A} --> $P(A)=1/2$
Sia B={L'evento che abbia scelto una scatola di tipo B} -->$P(B)=1/2$
$P(A|E)=1-P(B|E)=1-(1/2*(8/10)^10)$
La soluzione del problema è però data in un altro modo, che a quanto pare porta ad un risultato differente dal mio:
$P(B^C|E)=(P(E|B)*P(B))/(P(B)*P(E|B)+P(B^C)*P(E|B^C))=(1/2*(0.8)^10)/(1/2*(0.8^10+0.9^10))$
Adesso, a parte il fatto che se volessimo considerare il tutto nell'ottica di ("casi favorevoli"/"casi possibili") al numeratore dovrebbe andare la probabilità condizionata con A e non con B, per il resto non riesco a capire come mai questa soluzione non mi sconfinferi, magari sono io che non la capisco e la mia è totalmente sbagliata, magari il contrario... Chiedo aiuto!!!
Risposte
La parola chiave è "teorema di Bayes".
A parte che $B^C=A$ dovrebbe essere:
$P(A|E)=(P(AnnE))/(P(E))=(P(E|A)*P(A))/(P(B)*P(E|B)+P(A)*P(E|A))=(1/2*(0.9)^10)/(1/2*(0.8^10+0.9^10))$
In questa soluzione non capisco come hai valutato $P(B|E)$
Attenzione che $(8/10)^10$ è $P(E|B)$ e non $P(B|E)$
A parte che $B^C=A$ dovrebbe essere:
$P(A|E)=(P(AnnE))/(P(E))=(P(E|A)*P(A))/(P(B)*P(E|B)+P(A)*P(E|A))=(1/2*(0.9)^10)/(1/2*(0.8^10+0.9^10))$
"9600xt":
$P(A|E)=1-P(B|E)=1-(1/2*(8/10)^10)$
In questa soluzione non capisco come hai valutato $P(B|E)$
Attenzione che $(8/10)^10$ è $P(E|B)$ e non $P(B|E)$
ok, adesso ho capito, io ti dico come ho valutato $P(B|E)$ sapendo già, a questo punto, di scrivere una cosa sbagliata, per me era:
Da quel che ricordo della teoria se non sbaglio $P(EnnF)=P(F)*P(E|F)$ e $P(E|F)=((P(EnnF))/(P(F)))$
Quindi:
$P(B|E)=P(E)*((P(EnnB))/(P(E)))=P(EnnB)$
adesso credo di aver capito dove ho sbagliato, ho fatto un mix di 2 formule, in realtà dovrebbe essere così:
$1-P(B|E)=1-((P(EnnB))/(P(E)))$
o sbaglio ancora?
Da quel che ricordo della teoria se non sbaglio $P(EnnF)=P(F)*P(E|F)$ e $P(E|F)=((P(EnnF))/(P(F)))$
Quindi:
$P(B|E)=P(E)*((P(EnnB))/(P(E)))=P(EnnB)$
adesso credo di aver capito dove ho sbagliato, ho fatto un mix di 2 formule, in realtà dovrebbe essere così:
$1-P(B|E)=1-((P(EnnB))/(P(E)))$
o sbaglio ancora?
"9600xt":
Da quel che ricordo della teoria se non sbaglio $P(EnnF)=P(F)*P(E|F)$ e $P(E|F)=((P(EnnF))/(P(F)))$
Questo è corretto.
"9600xt":
Quindi:
$P(B|E)=P(E)*((P(EnnB))/(P(E)))=P(EnnB)$
Questa no. Credo che hai applicato in modo scorretto le formule precedenti.
Semmai $P(B|E)=(P(BnnE))/(P(E))$ (ho applicato la seconda di quelle che hai scritto)
"cenzo":
Semmai $P(B|E)=(P(BnnE))/(P(E))$ (ho applicato la seconda di quelle che hai scritto)
ok, e quindi adesso come continuo? $P(BnnE)$ a cosa è uguale? Ti chiedo se per piacere potresti passaggio elementare per passaggio elementare arrivare alla soluzione finale...... non riesco proprio ad andare avanti da solo....
"9600xt":
[quote="cenzo"]
Semmai $P(B|E)=(P(BnnE))/(P(E))$ (ho applicato la seconda di quelle che hai scritto)
ok, e quindi adesso come continuo? $P(BnnE)$ a cosa è uguale? Ti chiedo se per piacere potresti passaggio elementare per passaggio elementare arrivare alla soluzione finale...... non riesco proprio ad andare avanti da solo....[/quote]
In pratica mi chiedi di dimostrare il th. di Bayes..
Non è difficile. Il secondo passaggio è applicare la prima formula che avevi scritto prima:
$P(BnnE)=P(EnnB)=P(E|B)*P(B)$
Poi devi sviluppare la $P(E)$ al denominatore, tenendo conto del terorema delle probabilità assoluta (A e B sono una partizione dello spazio campionario):
$P(E)=P(E|A)*P(A)+P(E|B)*P(B)$
Assemblando i due pezzi sei arrivato alla formula. Comunque in rete trovi materiale abbondante (ad esempio su wikipedia).
ok, grazie mille, ho letto qualcosa su wikipedia, qualcosa su di un libro e adesso credo di esserci!
Sei stato gentilissimo, grazie!
Sei stato gentilissimo, grazie!
Prego! Se hai altri dubbi posta pure.
Ciao
Ciao
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