Aiuto, per favore!

[statfrog]

mi aiutereste a risolvere questo problema di statistica!? Sto scervellando da stamattina, ma proprio non mi riesce

Il problema è questo.....
L'etilometro è l'apparecchio utilizzato per la misurazione del tasso alcolemico agli
automobilisti. Secondo una delle aziende che lo distribuisce, se un soggetto ha bevuto lo
strumento sarà in grado di individuarlo con probabilità 0,8. Se un soggetto è sobrio, il test
è negativo con probabilità 0,99. In base ai dati disponibili per la Polstrada, il 30% dei
giovani fra i 10 e 25 anni alla guida di sabato sera ha ecceduto con il bere.
Indicare la probabilità che, avendo ottenuto un test negativo per un giovane di 23 anni
alla guida del sabato notte, questi sia effettivamente sobrio.

Ringrazio anticipatamente chiunque mi risponderà, spiegazioni e consigli vari per risolvere eventuali problemi simili in futuro sono più che benvenuti!

[cenzo1]

Applica il teorema di Bayes.

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Bayes

[hamming_burst]

Proviamo:

$B$={hanno bevuto}
$A$={sono sobri}
$P$={test positivo}
$N$={test negativo}
$T$={giovani 10-25 anni}


i dati dicono:

$P(PnnB)=0,8$ probabilità che il test sia positivo avendo bevuto
$P(NnnS)=0,99$ probabilità che il test sia negativo essendo sobri

$P(PnnS)=1-P(NnnS) = 0,01$ probabilità che il test sia positivo essendo sobri
$P(NnnB)=1-P(PnnB) = 0,20$ probabilità che il test sia negativo avendo bevuto

$P(TnnP) = 0.30$
$P(TnnN)= 1-P(TnnP)=0.70$

perciò la probabilità da trovare dovrebbe essere $P(S|TnnN)=?$

[cenzo1]

"ham_burst":$B$={hanno bevuto}
$S$={sono sobri}
$P$={test positivo}
$N$={test negativo}

Inoltre si ha $S=barB$ (chi non ha bevuto è sobrio - o almeno ha bevuto sotto una certa soglia )
e $N=barP$ (se il test non è positivo allora è negativo).

"ham_burst":$P(PnnB)=0,8$ probabilità che il test sia positivo avendo bevuto
$P(NnnS)=0,99$ probabilità che il test sia negativo essendo sobri

$P(PnnS)=1-P(NnnS) = 0,01$ probabilità che il test sia positivo essendo sobri
$P(NnnB)=1-P(PnnB) = 0,20$ probabilità che il test sia negativo avendo bevuto

Io interpreterei i dati come probabilità condizionate:
$P(P|B)=0.8$, quindi $P(N|B)=P(barP|B)=1-P(P|B)=0.2$
$P(N|S)=0.99$, quindi $P(P|S)=0.01$

Sappiamo inoltre che la probabilità a priori che un soggetto in quella fascia di età abbia bevuto è
$P(B)=0.3$, da cui $P(S)=P(barB)=0.7$.

Si richiede la probabilità condizionata $P(S|N)$, da trovare col teorema di Bayes.

[hamming_burst]

"cenzo":Io interpreterei i dati come probabilità condizionate:

ma daii, era la prima soluzione che ho riportato.
Però mi son detto che dovesse esserci un AND, tra le due proposizioni: test posivo AND bevuto.
Comuque ottima cosa, vuol dire che ho interpretato (in parte) giustamente il problema

ti ringrazio (penso anche a nome del postatore)

[cenzo1]

Figurati, ham_burst

"ham_burst":Però mi son detto che dovesse esserci un AND, tra le due proposizioni: test posivo AND bevuto.

Direi che $P(P nn B)=P(P|B)*P(B)=0.8*0.3=0.24$

[hamming_burst]

mmm una cosa non mi convice.

Te hai interpretato:

$P(B)=0.3$ cioè che i giovani tra 10-25 anni eccedono nel bere.
Però il problema, per me è diverso. La Polstrada per sapere che i giovani hanno bevuto, si sono basati sull'etilometro, perciò test positivo -> hanno bevuto.
Poi i giovani 10-25 sono un sottonsieme dei giovani positivi, e nella mia interpretazione un sottoinsieme di chi ha il test_positivo.

spaglio?

[cenzo1]

"ham_burst":perciò test positivo -> hanno bevuto.

Non sono sicuro di avere intepretato correttamente la tua obiezione.

In generale i test non sono infallibili, ma hanno una sua certa sensibilità e specificità, mai uguali al $100%$.
Se il test è positivo, non si ha la certezza che il soggetto abbia bevuto oltre soglia.

Nell'esempio dell'esercizio, la probabilità a priori che un giovane 10-25-enne alla guida il sabato notte abbia bevuto è pari al $30%$ (magari è noto da altre indagini).
Se sottoponessimo il giovane al test, e questo risultasse positivo, la probabilità che abbia bevuto (probabilità a posteriori) aumenta rispetto al $30%$ ma non raggiunge la certezza assoluta. Nell'esempio dovrebbe risultare $P(B|P)\sim97%$.

Poi è vero che implicitamente ho considerato $P(P|B nn T)=P(P|B)$, cioè che il test non è influenzato se si presenta un giovane o un adulto, purchè siano entrambi ubriachi.

[hamming_burst]

ok.
Il mio unto di vista era quello della Polstrada, per leggere il dato "i giovani 10-15 anni sono brilli".
Non avevo tenuto conto che la Polstrada conoscesse il fatto che il test non è affidabile, cioè il test positivo -> ha bevuto OR è sobrio.
E poi con questa "magari è noto da altre indagini", mi hai tolto ogni dubbio di interpretazione. La Polstrada può avere fatto altre statistiche, senza usa l'etilometro.

Ti ringrazio molto della disponibilità