Aiuto matematico per gioco di ruolo
Ciao a tutti. Vi scrivo per sottoporvi un problema matematico statistico che non riesco a risolvere da solo. Sto scrivendo un gioco di ruolo di ambientazione fantascientifica nel quale una razza aliena ha occupato il pianeta di una lontana galassia. Questa razza aliena vive in media 200 anni e si riproduce per clonazione una prima volta a 75 anni e una seconda volta a 150 anni per poi morire a 200 anni. Sapendo che i colonizzato sono 5000 e tutti, diciamo per comodità, hanno 30 anni, in quanti anni sul pianeta saranno un miliardo, in quanti anni saranno 10 miliardi? Grazie a tutti quelli che mi leggeranno e mi aiuteranno.
Levin
Levin
Risposte
Facciamo per ipotesi che all'inizio ci sia solo un individuo.
Se ci fai caso, ogni 75 anni il numero di nuovi nati segue la sequenza di Fibonacci.
Per calcolare l'n-esimo numero di Fibonacci c'e' una formula chiusa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci ... expression
Da li puoi fare il calcolo della popolazione totale.
Se ci fai caso, ogni 75 anni il numero di nuovi nati segue la sequenza di Fibonacci.
Per calcolare l'n-esimo numero di Fibonacci c'e' una formula chiusa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci ... expression
Da li puoi fare il calcolo della popolazione totale.
Quinzio, così però non stai dimenticando che dopo 200 anni muoiono?
"Martino":
Quinzio, così però non stai dimenticando che dopo 200 anni muoiono?
Ciao Martino,
ogni 75 anni nascono i figli dei 75enni e dei 150enni.
Se chiamiamo con $p_i$ la popolazione che compie $i$ anni, possiamo scrivere
$p_0 = p_{75}+p_{150}$ dove per $p_0$ si intende chi compie $0$ anni, ovvero chi e' appena nato, con $p_{75}$ chi compie $75$ anni e ha un figlio, ecc...
Dopo $75$ anni chi aveva $0$ anni ne ha $75$, chi $75$ ne avra' $150$ e chi $150$ sara' morto.
Questo realizza proprio la sequenza di Fibonacci.
Se partiamo da una popolazione di $p_0 = 1 = F(0)$, dove con $F(n)$ e' indicato l'ennesimo numero di Fibonacci, e andiamo di $75$ anni in $75$ anni, abbiamo
$F(1) = F(0)+ 0$
$F(2) = F(1)+ F(0)$
$F(3) = F(2)+ F(1)$
ecc...
Siccome al momento di nuove nascite convivono $3$ generazioni e approssimando con $\varphi = 1.61803...$ il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi, si puo' scrivere che la popolazione totale e'
$P(n) = F(n) + F(n-1) + F(n-2) = F(n) (1 + \varphi^{-1} +\varphi^{-2} )$
Per numeri grandi, si puo usare l'approssimazione inversa $n(F) = ln_{\varphi} (F*\sqrt 5 - 1/2)$ per trovare l'ennesimo numero di Fibonacci.
Quindi
$n(F) = ln_{\varphi} (F*\sqrt 5 - 1/2)$
ma in termini di anni in funzione della popolazione
$t = 75 ln_{\varphi} (P*\sqrt 5 / (1 + \varphi^{-1} +\varphi^{-2} ) - 1/2)$
tenendo conto che una nuova generazione arriva ogni $75$ anni.
Mettendo nella formula $P = 10^9$ si ottiene $t = 4125$, ovvero la popolazione arriva a un miliardo dopo 4125 anni.
I conigli di Fibonacci non muoiono mai quindi qualche differenza con questo caso direi che esiste, no? 
@Quinzio: Ah sì è vero! Avevo interpretato male quello che avevi detto. Mi torna. Quindi per ripetere quello che hai detto, se si parte da un unico individuo nato all'anno $0$,
$F(n)$=nuovi nati all'anno $75n$ = $n$-esimo numero di Fibonacci.
$P(n)$= popolazione dopo $75n$ anni = $F(n)+F(n-1)+F(n-2) = 2F(n)$.
Cioè il doppio del numero di Fibonacci. Quindi se all'inizio ci sono $k$ individui allora dopo $75n$ anni ci saranno $k * 2F(n)$ individui.
$F(n)$=nuovi nati all'anno $75n$ = $n$-esimo numero di Fibonacci.
$P(n)$= popolazione dopo $75n$ anni = $F(n)+F(n-1)+F(n-2) = 2F(n)$.
Cioè il doppio del numero di Fibonacci. Quindi se all'inizio ci sono $k$ individui allora dopo $75n$ anni ci saranno $k * 2F(n)$ individui.
Ciao a tutti,
ringrazio infinitamente @Martino e @axpgn e @Quinzio per essere intervenuti sul forum.
Purtroppo le mie scarse conoscenze statistico/matematiche non con consentono si seguire compiutamente i calcoli. Ho fatto mei calcoli molto empirici che mi portano a questo risultato:
1)partendo da una prima popolazione di 5000 unità, con riproduzioni a 75 e 150 anni e morte della prima generazione a 200 anni dopo 1125 ci saranno sul pianeta circa 10 miliardi di individui.
2)partendo da una prima popolazione di 5000 unità, con riproduzioni a 75 e morte della prima generazione a 200 anni dopo 1500 anni ci saranno sul pianeta circa 5 miliardi di individui.
Potreste essere così gentili da dirmi se questi risultati sono corretti?
Vi ringrazio ancora moltissimo!
Levin
ringrazio infinitamente @Martino e @axpgn e @Quinzio per essere intervenuti sul forum.
Purtroppo le mie scarse conoscenze statistico/matematiche non con consentono si seguire compiutamente i calcoli. Ho fatto mei calcoli molto empirici che mi portano a questo risultato:
1)partendo da una prima popolazione di 5000 unità, con riproduzioni a 75 e 150 anni e morte della prima generazione a 200 anni dopo 1125 ci saranno sul pianeta circa 10 miliardi di individui.
2)partendo da una prima popolazione di 5000 unità, con riproduzioni a 75 e morte della prima generazione a 200 anni dopo 1500 anni ci saranno sul pianeta circa 5 miliardi di individui.
Potreste essere così gentili da dirmi se questi risultati sono corretti?
Vi ringrazio ancora moltissimo!
Levin
La successione di fibonacci la si trova online facilmente https://oeis.org/A000045
Quindi per \(1125\) anni hai \(15\) riproduzioni. \(F(16) = 987\) (nella lista che ti ho mandato \(F(0) = 0\) e quindi va usato il numero dopo), quindi il risultato è \(1974\times 5000 = 9870000\) (che sono circa 10 miliardi).
Con il punto 2 intendi che ogni individuo si riproduce una sola volta nella vita? In quel caso la popolazione non può crescere sopra i 15000 abitanti (un individuo più 2 sue copie) e ci sono ovviamente momenti in cui si scende a 10000 per via del fatto che la creazione di individui e la morte non sono allineati.
Quindi per \(1125\) anni hai \(15\) riproduzioni. \(F(16) = 987\) (nella lista che ti ho mandato \(F(0) = 0\) e quindi va usato il numero dopo), quindi il risultato è \(1974\times 5000 = 9870000\) (che sono circa 10 miliardi).
Con il punto 2 intendi che ogni individuo si riproduce una sola volta nella vita? In quel caso la popolazione non può crescere sopra i 15000 abitanti (un individuo più 2 sue copie) e ci sono ovviamente momenti in cui si scende a 10000 per via del fatto che la creazione di individui e la morte non sono allineati.
"vict85":
\(1974\times 5000 = 9870000\) (che sono circa 10 miliardi).
Non capisco.
"ghira":
[quote="vict85"]\(1974\times 5000 = 9870000\) (che sono circa 10 miliardi).
Non capisco.[/quote]
\(\displaystyle 1974 = 2\times F(16) \) e \(\displaystyle 5000 \) sono le persone iniziali. Ho usato la formula scritta da Martino.
ma miliardi?
"ghira":
ma miliardi?
Dovevo essere fuso.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo