Aiuto esercizi di probabilità
Salve!
Mi potreste gentilmente dare una mano con questi esercizi?
1. Nella sala d’attesa di uno studio medico ci sono dieci sedie poste su una stessa parete. Quattro pazienti entrano
contemporaneamente nella sala (inizialmente vuota) ed occupano quattro sedie a caso. Determinare il numero medio
(M ) di sedie vuote comprese tra il paziente più a sinistra e quello più a destra.
M=3,6
2. Un numero aleatorio X (espresso in radianti) ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Determinare la
funzione di ripartizione di Y = sin X. (Soluzione in allegato)
3. Un’urna contiene 8 palline azzurre, 8 gialle e 8 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione le
palline. Calcolare la probabilità α = P (D ∩ E ∩ F)
D= pallina non azzurra alla 20esima estrazione
E= pallina non gialla alla quarta estrazione
F= pallina non viola alla 11esima estrazione
α = 232/759
4. Al sorteggio dei quarti di finale di Champions League sono presenti (tra le otto) quattro squadre inglesi. Calcolare la
probabilità α che non ci sia nessun scontro tra esse, la probabilità β che ci sia un doppio scontro, e la probabilità γ
che ci sia un solo scontro.
α= 8/35 β= 3/35 γ=24/35
5. Un urna contiene in egual numero palline bianche, rosse e verdi. Da essa se ne estraggono in blocco 10. Sia
X= numero di palline bianche estratte
Y = numero di palline rosse estratte
Z= numero di palline verdi estratte
Determinare i coefficienti di correlazione tra X e Y , tra X e Z e tra Y e Z.
Soluzione: -1/2 per tutti e tre
6. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = {−2, −1, 0, 1, 2} e distribuzione pX = {0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1}.
Determinare la sua funzione caratteristica, e in base ad essa la previsione di X elevato alla m con m dispari.
In quest'ultimo mi servirebbe solo la seconda consegna.
M=0
Vi ringrazio anticipatamente per la vostra disponibilità.
Mi potreste gentilmente dare una mano con questi esercizi?
1. Nella sala d’attesa di uno studio medico ci sono dieci sedie poste su una stessa parete. Quattro pazienti entrano
contemporaneamente nella sala (inizialmente vuota) ed occupano quattro sedie a caso. Determinare il numero medio
(M ) di sedie vuote comprese tra il paziente più a sinistra e quello più a destra.
M=3,6
2. Un numero aleatorio X (espresso in radianti) ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Determinare la
funzione di ripartizione di Y = sin X. (Soluzione in allegato)
3. Un’urna contiene 8 palline azzurre, 8 gialle e 8 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione le
palline. Calcolare la probabilità α = P (D ∩ E ∩ F)
D= pallina non azzurra alla 20esima estrazione
E= pallina non gialla alla quarta estrazione
F= pallina non viola alla 11esima estrazione
α = 232/759
4. Al sorteggio dei quarti di finale di Champions League sono presenti (tra le otto) quattro squadre inglesi. Calcolare la
probabilità α che non ci sia nessun scontro tra esse, la probabilità β che ci sia un doppio scontro, e la probabilità γ
che ci sia un solo scontro.
α= 8/35 β= 3/35 γ=24/35
5. Un urna contiene in egual numero palline bianche, rosse e verdi. Da essa se ne estraggono in blocco 10. Sia
X= numero di palline bianche estratte
Y = numero di palline rosse estratte
Z= numero di palline verdi estratte
Determinare i coefficienti di correlazione tra X e Y , tra X e Z e tra Y e Z.
Soluzione: -1/2 per tutti e tre
6. Un numero aleatorio discreto X ha codominio CX = {−2, −1, 0, 1, 2} e distribuzione pX = {0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1}.
Determinare la sua funzione caratteristica, e in base ad essa la previsione di X elevato alla m con m dispari.
In quest'ultimo mi servirebbe solo la seconda consegna.
M=0
Vi ringrazio anticipatamente per la vostra disponibilità.
Risposte
"Lele92":
1. Nella sala d’attesa di uno studio medico ci sono dieci sedie poste su una stessa parete. Quattro pazienti entrano
contemporaneamente nella sala (inizialmente vuota) ed occupano quattro sedie a caso. Determinare il numero medio
(M ) di sedie vuote comprese tra il paziente più a sinistra e quello più a destra.
M=3,6
I casi totali sono $C(10,4) = 210$
Prendiamo in considerazione singolarmente le varie possibilità in cui tra il paziente più a sinistra e quello più a destra ci sono:
- 6 sedie vuote (sono occupate la prima e l'ultima sedia) $ C(8,2) * 1 = 28 $ casi
- 5 sedie vuote (sono occupate la prima e la penultima sedia ovvero la seconda e l'ultima) $ C(7,2) * 2 = 42 $ casi
- 4 sedie vuote (sono occupate la prima e la terzultima sedia, ovvero la seconda e la penultima, ovvero la terza e l'ultima) $ C(6,2) * 3 = 45 $ casi
e proseguendo...
- 3 sedie vuote $ C(5,2) * 4 = 40 $ casi
- 2 sedie vuote $ C(4,2) * 5 = 30 $ casi
- 1 sedia vuota $ C(3,2) * 6 = 18 $ casi
- nessuna sedia vuota, ossia i 4 pazienti sono seduti accanto uno all'altro $ C(2,2) * 7 = 7 $ casi
La media di sedie vuote è quindi:
$ M = (28*6+42*5+45*4+40*3+30*2+18*1+7*0)/210 = 3,6 $
"Lele92":
2. Un numero aleatorio X (espresso in radianti) ha distribuzione esponenziale con parametro λ = 1. Determinare la
funzione di ripartizione di Y = sin X. (Soluzione in allegato)
Consideriamo prima di tutto la forma funzionale della variabile X, esponenziale negativa con $lambda=1$ ma definita in radianti:
$F_(X)(x)=(1-e^(-x))/(1-e^(-2pi))$
ciò in quanto la distribuzione esponenziale negativa ha la forma $f(x,1)=e^(-x)$ definita per $x>=0$
quindi integrando su tutto il dominio in radianti deve essere: $int_(0)^(2pi)e^(-x)dx=1-e^(-2pi)$ e quindi la funzione normalizzata viene
$f_(X)=e^(-x)/(1-e^(-2pi))$
La CDF si calcola, al solito, risolvendo $int_(0)^(x)f(t)dt=(1-e^(-x))/(1-e^(-2pi))$
prima di procedere è necessario utilizzare il seguente grafico
dobbiamo trovare la CDF della nuova variabile $Y=sinX$. E' superlfuo ricordare (ma lo faccio comunque) che il dominio della nuova variabile $y$ è $y in [-1;1]$ Come fa il testo, poniamo $alpha=arcsenx$
Come si vede agevolmente dal grafico è necessario spezzare la funzione in due:
Intervallo $[0;1]$
Calcolare $G_(Y)(y)=P{Y<=y}$ non è molto agevole; ma se calcoliamo $G(y)=1-P{Y>y}$ ci accorgiamo che tale funzione cade all'interno dei due punti di ascissa $alpha$ e $pi-alpha$. Quindi facilmente otteniamo:
$P{Y<=y}=1-P{Y>y}=1-[F_(X)(pi-alpha)-F_(X)(alpha)]=1-(1-e^(alpha-pi)-1+e^(-alpha))/(1-e^(-2pi))=1-(e^(-alpha)-e^(alpha-pi))/(1-e^(-2pi))$
Intervallo $[-1;0]$
Qui le cose sono più semplici in quanto direttamente $P{Y<=y}=P{x_(1)
$P{Y<=y}=F_(X)(2pi+alpha)-F_(X)(pi-alpha)=(1-e^(-alpha-2pi)-1+e^(alpha-pi))/(1-e^(-2pi))=(e^(alpha-pi)-e^(-alpha-2pi))/(1-e^(-2pi))$
in definitiva, abbiamo che:
[size=200]$G_(Y)(y)-={{: ( 0 , ;y<-1 ),( (e^(alpha-pi)-e^(-alpha-2pi))/(1-e^(-2pi)) , ;-1<=y<0),( 1-(e^(-alpha)-e^(alpha-pi))/(1-e^(-2pi)) , ;0<=y<1 ),( 1 , ;y>=1 ) :}$[/size]
che coincide con la tua soluzione tranne per un paio di cosette che il tuo libro ha sbagliato!!
ovvero, per $y>=1$ la CDF è evidentemente 1, non zero
ho sistemato un pochino le disuguaglianze sul dominio dato che, per definizione, la CDF è continua da destra.....
Ora caro lele92 permettimi di farti una piccola osservazione:
ti voglio ricordare l'art 1.4 del Regolamento del forum che dovresti aver BEN LETTO E COMPRESO:
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
...non mi pare che in questo tuo primo topic tu ti sia comportato esattamente in maniera diligente e conforme al regolamento: hai postato esercizi che coprono metà del programma senza inserire una riga di bozza di soluzione
....per dimostrarti la nostra buona voglia ti abbiamo risolto un paio di esercizi, nino uno di calcolo combinatorio ed io quello più interessante sulla trasformazione sinusoidale....ora sta a te mostrare a noi la tua buona voglia di imparare...cordialmente,
alberto
Caro Tommik,
hai perfettamente ragione ma avrei dovuto trascrivere pagine e pagine di calcoli che ho fatto ed essere sincero sono stato un po' svogliato e non mi andava di farlo. Successivamente pubblicherò le bozze con le mie risoluzioni (sbagliate ovviamente) con tutti i dettagli e dubbi specifici . Vi ringrazio per l'aiuto che mi state dando.
hai perfettamente ragione ma avrei dovuto trascrivere pagine e pagine di calcoli che ho fatto ed essere sincero sono stato un po' svogliato e non mi andava di farlo. Successivamente pubblicherò le bozze con le mie risoluzioni (sbagliate ovviamente) con tutti i dettagli e dubbi specifici . Vi ringrazio per l'aiuto che mi state dando.
Grazie per il consiglio, seguirò il tuo suggerimento! 
. Comunque in parole povere ho approcciato al problema sfruttando una proprietà della funzione di ripartizione e rispulciando qualcosina di analisi (guarda allegato). Purtroppo con lo stesso procedimento non mi riesce nell'intervallo 0,1.
Per gli altri esercizi credo sia meglio creare un post per ogni singolo esercizio in modo tale che si possa fare meno confusione con gli allegati.
Grazie ancora per tutto! Soluzione ottima!
. Comunque in parole povere ho approcciato al problema sfruttando una proprietà della funzione di ripartizione e rispulciando qualcosina di analisi (guarda allegato). Purtroppo con lo stesso procedimento non mi riesce nell'intervallo 0,1.Per gli altri esercizi credo sia meglio creare un post per ogni singolo esercizio in modo tale che si possa fare meno confusione con gli allegati.
Grazie ancora per tutto! Soluzione ottima!
"Lele92":
3. Un’urna contiene 8 palline azzurre, 8 gialle e 8 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione le
palline. Calcolare la probabilità α = P (D ∩ E ∩ F)
D= pallina non azzurra alla 20esima estrazione
E= pallina non gialla alla quarta estrazione
F= pallina non viola alla 11esima estrazione
α = 232/759
Se ad ogni estrazione si rimettessero le palline nell'urna, la probabilità richiesta sarebbe $=(2/3)^3 = 0,296296...$
Essendo il processo senza reimmissione, il risultato sarà leggermente superiore.
E' chiaro che dire "20esima, quarta, 11esima" estrazione non ha nulla di diverso rispetto al verificarsi degli stessi eventi in qualsiasi altra estrazione, è solo un diversivo per confondere le idee.
Immaginiamo quindi che le 3 palline del colore indicato non debbano apparire alla prima, alla seconda e alla terza estrazione. Ovviamente, dal quarto all'ultimo sorteggio non esistono più limitazioni circa le 21 palline residue; ne consegue che possiamo considerare che le combinazioni totali siano $ 24*23*22 = 12144 $
Occorre ora esaminare nelle prime 3 estrazioni:
-alla prima NO pallina D, SI palline E o F
-alla seconda NO pallina E, SI palline D o F
-alla terza NO pallina F, SI palline D o E
i casi possibili, che da $3^3$ si riducono a $2^3$:
E D D
E D E
E F D
E F E
F D D
F D E
F F D
F F E
con la seguente numerosità favorevole complessiva:
$ (8*8*7 + 8*8*7 + 8*8*8 + 8*8*7 + 8*8*7 + 8*8*8 + 8*7*8 + 8*7*8) = 3712 $
La probabilità richiesta è quindi $ = 3712/12144 = 232/759 $
Grazie Nino! Ho cercato di svolgerlo con la distribuzione multinomiale ma poi mi sono reso conto che non c'entrava niente! Grazie ancora!
"tommik":
prima di procedere è necessario utilizzare il seguente grafico
Stavo riguardando qualche esercizio che mi hai consigliato per far pratica ed arrivato a questo non capisco come mai, nel grafico, dopo aver passato il valore di ascissa \(\displaystyle \pi \) quello successivo è \(\displaystyle \pi-\alpha \) e non \(\displaystyle \pi+\alpha \)...
Probabilmente dipende dal fatto che \(\displaystyle \alpha=arcsinx \) ma non mi torna comunque...
"Netfrog":
Stavo riguardando qualche esercizio che mi hai consigliato per far pratica ed arrivato a questo non capisco come mai, nel grafico, dopo aver passato il valore di ascissa \(\displaystyle \pi \) quello successivo è \(\displaystyle \pi-\alpha \) e non \(\displaystyle \pi+\alpha \)...
perché in quell'intervallo $alpha=arcsiny<0$ e quindi $pi-alpha>pi$
Giustamente! avevo fissato \(\displaystyle \alpha=arcsinx \) invece che \(\displaystyle \alpha=arcsiny \)
E' il mio ultimo esame della triennale e sono preoccupatissimo e faccio errori di distrazione
E' il mio ultimo esame della triennale e sono preoccupatissimo e faccio errori di distrazione
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