Aiuto comprensione notazione
Questa volta non vi chiedo aiuto per svolgere un esercizio (meno male direte 
) ma solo per capire come interpretare la seguente notazione.
Il testo fornisce da traccia il seguente vettore aleatorio:
Ovviamente si tratta di una doppia continua con distribuzione Normale a media 0. Ma come interpreto la varianza? Devo fare il determinante della matrice?
) ma solo per capire come interpretare la seguente notazione. Il testo fornisce da traccia il seguente vettore aleatorio:
$( (X), (Y) )~ N_2(( (0), (0) );( {: ( 1 , \rho ),( \rho , 1 ) :} ))$
Ovviamente si tratta di una doppia continua con distribuzione Normale a media 0. Ma come interpreto la varianza? Devo fare il determinante della matrice?
Risposte
"ghira":
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_delle_covarianze
Ora capisco, non ci sono arrivato col programma. Tengo in sospeso l'esercizio e lo riprenderò in seguito. Grazie @ghira!
E' il momento di riprendere questo post.
Inizio scrivendo ciò che ho capito da un punto di vista teorico, sperando di non dire baggianate, e proseguo con l'esercizio da cui ha preso spunto il post.
Io so che per un vettore aleatorio $( ( X_1 ),( ... ),( X_n ) )~ N_n ({: ( \mu_1 ),( ... ),( \mu_n ) :},{: ( \sigma_1^2 , Cov(X_1,X_2) , ... , Cov(X_1,X_n) ),( ... , \sigma_2^2 , Cov(X_2,X_3) , ... ),( ... , ... , \sigma_3^2 , ... ),( Cov(X_n,X_1) , ... , ... , \sigma_n^2 ) :})$, ogni v. $Z$ combinazione lineare è $N(A\bar(\mu),A^T\sum A)$, dove $A$ è un vettore di scalari $1xx n$ generico, $\bar(u)$ è il vettore delle medie e $\sum$ è la matrice delle covarianze. Bene.
Dato il vettore aleatorio iniziale, determina:
1) la distribuzione di $Z=X+Y$.
2) la distribuzione di $W=X^2$, la sua media e la sua varianza.
3) $Cov(X,W)$ e $Cov(Z,W)$.
Per il punto 1), se scelgo $A= ( (1), (1) )$, ho che $Z~N(0,2+2\rho)$. E dovrei esserci.
Per il punto 2) applico la legge di trasformazione e ho che $W= chi_1^2$. E ok.
Per il punto 3) ho $Cov(X,W)=0$ e $Cov(Z,W)=…=E[X^2Y]=\int_(\mathbb(R)^2)x^2yf(x,y)dxdy$.
Purtroppo su quest'ultimo integrale sto trovando difficoltà a calcolare la densità congiunta… Avete qualche suggerimento?
Inizio scrivendo ciò che ho capito da un punto di vista teorico, sperando di non dire baggianate, e proseguo con l'esercizio da cui ha preso spunto il post.
Io so che per un vettore aleatorio $( ( X_1 ),( ... ),( X_n ) )~ N_n ({: ( \mu_1 ),( ... ),( \mu_n ) :},{: ( \sigma_1^2 , Cov(X_1,X_2) , ... , Cov(X_1,X_n) ),( ... , \sigma_2^2 , Cov(X_2,X_3) , ... ),( ... , ... , \sigma_3^2 , ... ),( Cov(X_n,X_1) , ... , ... , \sigma_n^2 ) :})$, ogni v. $Z$ combinazione lineare è $N(A\bar(\mu),A^T\sum A)$, dove $A$ è un vettore di scalari $1xx n$ generico, $\bar(u)$ è il vettore delle medie e $\sum$ è la matrice delle covarianze. Bene.
Dato il vettore aleatorio iniziale, determina:
1) la distribuzione di $Z=X+Y$.
2) la distribuzione di $W=X^2$, la sua media e la sua varianza.
3) $Cov(X,W)$ e $Cov(Z,W)$.
Per il punto 1), se scelgo $A= ( (1), (1) )$, ho che $Z~N(0,2+2\rho)$. E dovrei esserci.
Per il punto 2) applico la legge di trasformazione e ho che $W= chi_1^2$. E ok.
Per il punto 3) ho $Cov(X,W)=0$ e $Cov(Z,W)=…=E[X^2Y]=\int_(\mathbb(R)^2)x^2yf(x,y)dxdy$.
Purtroppo su quest'ultimo integrale sto trovando difficoltà a calcolare la densità congiunta… Avete qualche suggerimento?
"mobley":
Purtroppo su quest'ultimo integrale sto trovando difficoltà a calcolare la densità congiunta… Avete qualche suggerimento?
la densità congiunta non è un segreto
$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sqrt(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[x^2-2rhoxy+y^2]$
per risolvere analiticamente quell'integrale doppio basta rimaneggiare la densità congiunta trovando le espressioni, ad esempio di $f(x)$ e $f(y|x)$ oppure $f(y)$ e $f(x|y)$ dopodiché avrai due integrali separati con i momenti noti.
...ce la puoi fare....ragionandoci un po' su....
dopo averci pensato un po' su con calma (all'inizio l'esercizio mi aveva spiazzato) ho trovato la soluzione completa e corretta di questo esercizio di ieri....ho aggiunto anche degli interessanti approfondimenti
"tommik":
la densità congiunta non è un segreto
$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sqrt(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[x^2-2rhoxy+y^2]$
Mica ho capito come l'hai trovata…
Voglio dire, io so che $f_Y(y)=1/(\sqrt(2\pi))e^(-y^2/2)$. E fin qui non ci piove. E poi so che $X^2=WrArr f_W(w)=1/(\sqrt(2\piw))e^(-w/2)$. Sembra che tu stia moltiplicando $f_Y$ con la densità di $Z$...
ho semplicemente preso la definizione ed ho fatto i calcoli; devi calcolare l'inversa della matrice $Sigma$ ed il suo determinante...poi fare i conticini.
In genere si dà la definizione in forma matriciale....io te l'ho scritta in modo più umano
In realtà per $n=2$ la so a memoria...
La difficoltà dell'esercizio viene dopo però....devi ricondurti ad avere $f(x,y)=f(x)f(y|x)$ dove $f(x)=phi$
Si incomincia così:
$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sqrt(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[x^2-2rhoxy+y^2]=$
$=1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)xx1/sqrt(2pi(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[y-rhox]^2)=f(x)f(y|x)$
Ora, dopo semplici manipolazioni algebriche che ti lascio capire con calma (porti fuori $x^2$ dall'esponente, completi il quadrato, porti fuori ciò che rimane e fai i conti), abbiamo (ho) scomposto la congiunta in due densità separate, una una Gaussiana std, l'altra una gaussiana di media $rhox$ e varianza $(1-rho^2)$
Ora il calcolo del tuo valore atteso è più agevole perché ti viene subito
$mathbb{E}[X^2Y]=int_(-oo)^(+oo)x^2 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)[ underbrace(int_(-oo)^(+oo)y 1/sqrt(2pi(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[y-rhox]^2)dy)_(mathbb{E}[Y|X=x]=rho x)]dx=rho mathbb{E}[X^3]=0$
In genere si dà la definizione in forma matriciale....io te l'ho scritta in modo più umano
In realtà per $n=2$ la so a memoria...
La difficoltà dell'esercizio viene dopo però....devi ricondurti ad avere $f(x,y)=f(x)f(y|x)$ dove $f(x)=phi$
Si incomincia così:
$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sqrt(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[x^2-2rhoxy+y^2]=$
$=1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)xx1/sqrt(2pi(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[y-rhox]^2)=f(x)f(y|x)$
Ora, dopo semplici manipolazioni algebriche che ti lascio capire con calma (porti fuori $x^2$ dall'esponente, completi il quadrato, porti fuori ciò che rimane e fai i conti), abbiamo (ho) scomposto la congiunta in due densità separate, una una Gaussiana std, l'altra una gaussiana di media $rhox$ e varianza $(1-rho^2)$
Ora il calcolo del tuo valore atteso è più agevole perché ti viene subito
$mathbb{E}[X^2Y]=int_(-oo)^(+oo)x^2 1/sqrt(2pi)e^(-x^2/2)[ underbrace(int_(-oo)^(+oo)y 1/sqrt(2pi(1-rho^2))e^(-1/(2(1-rho^2))[y-rhox]^2)dy)_(mathbb{E}[Y|X=x]=rho x)]dx=rho mathbb{E}[X^3]=0$
"tommik":
ho semplicemente preso la definizione ed ho fatto i calcoli
Anzitutto grazie per la risposta, me la studierò per bene una volta capito come applicare la definizione che mi hai indicato. O meglio, il perchè hai usato la normale multivariata… Intendo dire che nel valore atteso ho il prodotto tra una normale standard e una chi-quadro, quindi:
1) come avrei dovuto capire che dovevo considerare questo prodotto come un vettore aleatorio $H=(Y,X^2)$?
2) inoltre $X^2$ è una chi-quadro e non una normale… In base a cosa avrei dovuto capire che le due variabili erano "congiuntamente gaussiane"? E' $X$ ad essere normale, non $X^2=W$...
"mobley":
$=E[X^2Y]=\int_(\mathbb(R)^2)x^2yf(x,y)dxdy$.
questa formula l'hai scritta tu...ed è giusta. Hai capito che formula hai scritto o no?
Per calcolare $E[g(X,Y)]$ devi fare l'integrale doppio di $g(X,Y)$ per la densità congiunta di $(X,Y)$ che il testo ti dice essere una gaussiana multivariata.....capito questo poi è solo una questione di conti.....
Calcolare il determinante di $Sigma$ e calcolare esplicitamente la forma quadratica
$[ x \ \, y ] Sigma^(-1) [ ( x ),( y ) ] $
non è chiaro?
Uff… Certo… Anche se nell'integranda ho $x^2$, per definizione di valore atteso sto andando a calcolare la congiunta tra $X$ e $Y$, e giustamente il testo ci dice che è una gaussiana bivariata (e che per questo ha densità normale bivariata)… Grazie!
Grazie!
Ok, finito. Comunque voglio dire… Non si vergogna a mettere esercizi del genere?! Come cavolo ci arrivi a derivare sto popò di dimostrazione all'esame?!
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