Aiutino per esercizio su verifica di ipotesi
Allora qui di seguito vi riporto il testo dell'esercizio:
La fabbrica A produce batterie per automobili la cui durata è distribuita normalmente con media incognita e varianza 1.5. La fabbrica B produce anch'essa batterie per auto la cui durata è distribuita normalmente con media incognita e varianza 1.3. Su un campione di 21 batterie dalla fabbrica A, si è osservata una durata media di 3.4 anni, mentra su un campione id 16 batterie dalla fabbrica B si è osservata una durata media di 3.1 anni.
a) un produttore di auto, prima di acquistare una partita di batterie, vuole verificare l'ipotesi che la durta media delle batterie delle due fabbriche A e B, consinderando un livello di significatività del 5%.
b) costruire un intervallo di confidenza al 5% per la differenza della durata media delle batterie.
Quello che non capisco è se i dati li ho tutti o manca qualcosa, e devo utlilizzare il test di ipotesi Z per la media (sigma noto) o test di ipotesi t per la media (sigma non noto) ?
La fabbrica A produce batterie per automobili la cui durata è distribuita normalmente con media incognita e varianza 1.5. La fabbrica B produce anch'essa batterie per auto la cui durata è distribuita normalmente con media incognita e varianza 1.3. Su un campione di 21 batterie dalla fabbrica A, si è osservata una durata media di 3.4 anni, mentra su un campione id 16 batterie dalla fabbrica B si è osservata una durata media di 3.1 anni.
a) un produttore di auto, prima di acquistare una partita di batterie, vuole verificare l'ipotesi che la durta media delle batterie delle due fabbriche A e B, consinderando un livello di significatività del 5%.
b) costruire un intervallo di confidenza al 5% per la differenza della durata media delle batterie.
Quello che non capisco è se i dati li ho tutti o manca qualcosa, e devo utlilizzare il test di ipotesi Z per la media (sigma noto) o test di ipotesi t per la media (sigma non noto) ?
Risposte
i dati li ho tutti o manca qualcosa
li hai tutti
devo utlilizzare il test di ipotesi Z per la media (sigma noto) o test di ipotesi t per la media (sigma non noto) ?
devi usare la Z (sigma noto)
Grazie mille!! Quindi le due ipotesi sono: H con 0: mu A=mu B mentre H con 1: mu A $ != $ mu B se non erro dopo di che devo guardare le tavole e calcolare tramite formula Z giusto?
Si,
la sai quale è la statistica test?
Sei in un caso di confronto tra medie di popolazioni normali con varianze note
la sai quale è la statistica test?
Sei in un caso di confronto tra medie di popolazioni normali con varianze note
Se non sbaglio se il valore di che ho calcolato di Z si discosta dall'ipotesi rifiuto l'ipotesi positiva e accetto quella negativa, nel caso il valore di Z non si discosti accetto l'ipotesi positiva.
Quindi in questo caso se le batterie hanno una durata media uguale accetto h con 0 altrimenti la rifiuto e accetto h con 1.
Però in questo esercizio che ho tentato diverse volte di farlo non mi torna il fatto che ho 2 capionamenti 2 medie e due varianze e non riesco a capire come mettere insieme il tutto...magari è una sciocchezza ma mi blocco
Quindi in questo caso se le batterie hanno una durata media uguale accetto h con 0 altrimenti la rifiuto e accetto h con 1.
Però in questo esercizio che ho tentato diverse volte di farlo non mi torna il fatto che ho 2 capionamenti 2 medie e due varianze e non riesco a capire come mettere insieme il tutto...magari è una sciocchezza ma mi blocco
cerchiamo di inquadrare il prblema:
chiamiamo $X_i$ le v.a. della durata della fabbrica A; $Y_i$ lo stasso per B; entrambi sono normali con media incognita e varianza 1.5 per A e 1.3 per B.
Abbiamo osservato due campioni di X e Y;
costruisci le medie campionarie; ad esempio per X è $hat mu_1=1/(21)sum_(i=1)^(21)X_i$ che distribuzione ha?
Fai lo stesso per Y.
Ora $\hat mu_1 - hat mu_2$ come si distribuisce?
Fatto questo il gioco è fatto
chiamiamo $X_i$ le v.a. della durata della fabbrica A; $Y_i$ lo stasso per B; entrambi sono normali con media incognita e varianza 1.5 per A e 1.3 per B.
Abbiamo osservato due campioni di X e Y;
costruisci le medie campionarie; ad esempio per X è $hat mu_1=1/(21)sum_(i=1)^(21)X_i$ che distribuzione ha?
Fai lo stesso per Y.
Ora $\hat mu_1 - hat mu_2$ come si distribuisce?
Fatto questo il gioco è fatto
Se non sbaglio ha una distribuone di una normale, però quello che non riesco a capre e dove andare a trovare i valori di Xi. Mi scuso se continuo ad insistere ma mi sta molto a cuore capire il meccanismo.
chiama $mu_1$ e $mu_2$ le due medie incognite.
$hat mu_1 quad sim quad N(mu_1,(1.5)/(21))$;
$hat mu_2 quad sim quad N(mu_2,(1.3)/(16))$;
$hat mu_1 - hat mu_2 quad sim quad N(mu_1-mu_2 quad , quad (1.5)/(21)+(1.3)/(26))$ (le supponi indipendenti)
$Z=((hat mu_1 - hat mu_2) - (mu_1-mu_2))/(sqrt((1.5)/(21)+(1.3)/(26))) quad sim quad N(0,1)$.
L'ipotesi nulla è $mu_1=mu_2$; perntanto sotto l'ipotesi nulla $(hat mu_1 - hat mu_2)/(sqrt((1.5)/(21)+(1.3)/(26)))$ è una normale standard;
questa è la tua statistica test.
$P(-z_(1-alpha/2)
realizza la statistica test ($(3.4-3.1)/(sqrt((1.5)/(21)+(1.3)/(26)))=0.86$) e la confronti con $z_(1-alpha/2)$
ovvero $-1.96<0.86<1.96$ quindi accetti l'ipotesi nulla.
Per quanto riguarda quello che chiedevi non conoscierai i valori di $X_i$, ma come hai visto non ti servono, ti serve conoscere una loro funzione (in questo caso la media).
Queste sono le statistiche sufficienti.
$hat mu_1 quad sim quad N(mu_1,(1.5)/(21))$;
$hat mu_2 quad sim quad N(mu_2,(1.3)/(16))$;
$hat mu_1 - hat mu_2 quad sim quad N(mu_1-mu_2 quad , quad (1.5)/(21)+(1.3)/(26))$ (le supponi indipendenti)
$Z=((hat mu_1 - hat mu_2) - (mu_1-mu_2))/(sqrt((1.5)/(21)+(1.3)/(26))) quad sim quad N(0,1)$.
L'ipotesi nulla è $mu_1=mu_2$; perntanto sotto l'ipotesi nulla $(hat mu_1 - hat mu_2)/(sqrt((1.5)/(21)+(1.3)/(26)))$ è una normale standard;
questa è la tua statistica test.
$P(-z_(1-alpha/2)
realizza la statistica test ($(3.4-3.1)/(sqrt((1.5)/(21)+(1.3)/(26)))=0.86$) e la confronti con $z_(1-alpha/2)$
ovvero $-1.96<0.86<1.96$ quindi accetti l'ipotesi nulla.
Per quanto riguarda quello che chiedevi non conoscierai i valori di $X_i$, ma come hai visto non ti servono, ti serve conoscere una loro funzione (in questo caso la media).
Queste sono le statistiche sufficienti.
Grazie mille veramente!!!
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