Additività numerabile della probabilità
non vorrei dire una eresia, ma le tue $A_n$ non mi sembrano a due a due disgiunte
Risposte
scusa ma io il Dall'Aglio non l'ho mai digerito, non lo riesco a capire... ma quello che hai scritto nel primo post non è un assioma?
"Sergio":
Teorema II.3.3: la probabilità è numerabilmente additiva: [tex]A_r \cap A_s=\varnothing\text{~per~}r \neq s\Rightarrow P\left(\bigcup_{r=1}^\infty A_r\right)=\sum_{r=1}^\oo P(A_r)[/tex].
Scusa ma dovrebbe venire
[tex]A_r \cap A_s=\varnothing\text{~per~}r \neq s\Rightarrow P\left(\bigcup_{r=1}^\infty A_r\right)=\sum_{r=1}^\infty P(A_r)[/tex]
(cioè avevo visto "Sommatoria con r da 1 a P"?!? Alla prima scorsa mi ero detto "che roba è"?
Fortunatamente, solo un refuso)
Scusate ragazzi avrei un dubbio su la dimostrazione dell'additività completa...
partendo dagli assiomi di kolmogorov in particolare dal 4 e dal 5 si dimostra additività completa partendo da alcuni semplici ipotesi che ci assicurano che gli eventi in questione sono incompatibili. pero se consideriamo la successione $A_k$ affinchè si possa utilizzare il quinto assioma , la successione in questione deve essere per forza monotona decrescente giusto ?? se è giusto quello che ho scritto allora ogni volta che deve applicare l additività completa devo verificare sia incompatibilità e sia la decrescenza della successione?? ... grazie delle eventuali risposte
partendo dagli assiomi di kolmogorov in particolare dal 4 e dal 5 si dimostra additività completa partendo da alcuni semplici ipotesi che ci assicurano che gli eventi in questione sono incompatibili. pero se consideriamo la successione $A_k$ affinchè si possa utilizzare il quinto assioma , la successione in questione deve essere per forza monotona decrescente giusto ?? se è giusto quello che ho scritto allora ogni volta che deve applicare l additività completa devo verificare sia incompatibilità e sia la decrescenza della successione?? ... grazie delle eventuali risposte
Il quinto assimo ti dice che se $A_n$ decresce al vuoto $P(A_n) to 0$.
Se $A_n$ è decrescente con limite $A$ (non necessariamente al vuoto), $B_n=A_n setminus A$ decresce al vuoto.
Da questo ricavi che $P(A_n) to P(A)$.
Se $A_n$ è crescente, $B_n=A_n^c$ è decrescente. Da quanto sopra ottieni la continuità.
Se $A_n$ è una successione qualunque convergente, la continuità applicata a liminf e limsup ti fornisce la continuità dsu $A_n$.
Con pazienza ora rileggiti quello che ho scritto e dimostra le implicazioni. Queste ti dimostrano che a partire dalla continuità della probabilità su certe successioni (decrescenti al vuoto), ottieni la continuità per tutte le successioni convergenti.
Se $A_n$ è decrescente con limite $A$ (non necessariamente al vuoto), $B_n=A_n setminus A$ decresce al vuoto.
Da questo ricavi che $P(A_n) to P(A)$.
Se $A_n$ è crescente, $B_n=A_n^c$ è decrescente. Da quanto sopra ottieni la continuità.
Se $A_n$ è una successione qualunque convergente, la continuità applicata a liminf e limsup ti fornisce la continuità dsu $A_n$.
Con pazienza ora rileggiti quello che ho scritto e dimostra le implicazioni. Queste ti dimostrano che a partire dalla continuità della probabilità su certe successioni (decrescenti al vuoto), ottieni la continuità per tutte le successioni convergenti.
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