3 esercizi di probabilità, semplici semplici
Non riesco a risolverli 
Io ho provato cosi: dato che i due dadi sono numerati da 1 a 6, la somma dei due può prendere tutti i valori compresi tra 2 e 12:
1+1=2
1+2=3
...
1+6=7
2+1=3
...
6+6=12
tra questi spiccano 1,3,5,7,11 come numeri primi, ma il mio dubbio è: allora tutti i numeri possono essere espressi come somma, ma l'$1$ come lo esprimo? devo escluderlo? infatti procendendo cosi:
$A:"$la somma dei 2 numeri usciti è un numero primo$"$
$P(A)=4/11$
4 casi favorevoli su 11 possibili, ma non è secondo il testo
per la prima domanda ok, infatti $B_i:"$esce testa all'i-esimo lancio con $" i=1,2,3,4$ e $C:$ esce 2 volte testa, segue che
$C=B_1B_2B_3^cB_4^c+B_1^cB_2^cB_3B_4$ poi buio più assoluto...(ho difficoltà ad operare con eventi compatibili )
per l'altra nulla...
a) $F:$esce tre volte 6
$P(F)=1/6^3=1/216$
b) e c) nulla, non ci so mettere mano
1)Qual'è la probabilità che, lanciando due dadi, la somma dei numeri usciti sia un numero primo? [risp $5/12$]
Io ho provato cosi: dato che i due dadi sono numerati da 1 a 6, la somma dei due può prendere tutti i valori compresi tra 2 e 12:
1+1=2
1+2=3
...
1+6=7
2+1=3
...
6+6=12
tra questi spiccano 1,3,5,7,11 come numeri primi, ma il mio dubbio è: allora tutti i numeri possono essere espressi come somma, ma l'$1$ come lo esprimo? devo escluderlo? infatti procendendo cosi:
$A:"$la somma dei 2 numeri usciti è un numero primo$"$
$P(A)=4/11$
4 casi favorevoli su 11 possibili, ma non è secondo il testo
2)Lancio quattro volte una moneta. Qual'è la probabilità che escano esattamente 2 teste? [risp 0,375] E che escano almeno due teste? [risp 0,6875]
per la prima domanda ok, infatti $B_i:"$esce testa all'i-esimo lancio con $" i=1,2,3,4$ e $C:$ esce 2 volte testa, segue che
$C=B_1B_2B_3^cB_4^c+B_1^cB_2^cB_3B_4$ poi buio più assoluto...(ho difficoltà ad operare con eventi compatibili )
per l'altra nulla...
3)Si lancia 3 volte un dado. Qual'è la probabilità che:
a)escano tre 6; [risp 1/216]
b)tre faccie uguali [risp 1/36]
c)un 1,2,3 in qualsiasi ordine? [risp 1/36]
a) $F:$esce tre volte 6
$P(F)=1/6^3=1/216$
b) e c) nulla, non ci so mettere mano
Risposte
tu hai scelto (implicitamente) come spazio di probabilità ${2,3,...,12}$ quello che non hai notato però è che lo spazio non è uniforme infatti alcuni numeri hanno maggiore possibilità di uscire (ad esempio 7=4+3=5+2=6+1, 12=6+6 e basta) quindi non escono tutto con probabilità 1/11, comunque dando ad ogni numero la giusta la probabilità troverai i risultati corretti. ad esempio 3 può uscire in due casi: (1,2) e (2,1) ognuno dei quali ha 1/36 di probabilità quindi esce con probabilità 1/18, questo perchè l'evento "esce 1 al primo 2 al secondo" e "esce 2 al primo e 1 al secondo" sono eventi diversi anche se danno la stessa "combinazione" 3=2+1. devi fare e conti e dovrebbe tornarti.
qui dobbiamo contare quante possibili eventi ci sono in cui escono esattamente due teste. la prima cosa che notiamo è che sono tutti equiprobabili (testa al primo ed al secondo ha la stessa probabilità di testa al primo e al terzo etc..). si tratta qua di contare quanti sottoinsiemi di due elementi puoi fare in un insieme di quattro e viene $((4),(2))$ e moltiplicare per la probabilità di ogni evento che è 1/16 e ottieni 6/16=0.375
la probabilità di almeno due teste è la probabilità di due teste + la probabilità di tre teste + la probabilità di 4 teste. la prima già l'abbiamo calcolata, la seconda si fa in modo analogo (stavolta contiamo i sottoinsiemi di tre elementi) $((4),(3))*1/16$, la terza allo stesso modo è 1/16 e si ottiene il risultato che dici te.
tre facce uguali: praticamente eri arrivato tre facce uguali significa o tre 1 o tre 2 etc.. devi fare la somma della probabilità che escano tre 1 + prob che escano tre 2 e così via. ognuna di esse vale 1/36 ne hai 6.
la probabilità che escano 1,2,3 in un qualsiasi ordine. anche qua i vari eventi sono equiprobabili (1,2,3 ha la stessa probabilità di 2,1,3 etc..) quindi devi calcolare la probabilità di uno di essi e moltiplicare per tutti i possibili casi: la probabilità di uno è $1/6^3$ e sono $3!$ (puoi prendere una qualunque permutazione) ottieni 1/36
spero di essere stato chiaro, nel caso chiedi ancora
qui dobbiamo contare quante possibili eventi ci sono in cui escono esattamente due teste. la prima cosa che notiamo è che sono tutti equiprobabili (testa al primo ed al secondo ha la stessa probabilità di testa al primo e al terzo etc..). si tratta qua di contare quanti sottoinsiemi di due elementi puoi fare in un insieme di quattro e viene $((4),(2))$ e moltiplicare per la probabilità di ogni evento che è 1/16 e ottieni 6/16=0.375
la probabilità di almeno due teste è la probabilità di due teste + la probabilità di tre teste + la probabilità di 4 teste. la prima già l'abbiamo calcolata, la seconda si fa in modo analogo (stavolta contiamo i sottoinsiemi di tre elementi) $((4),(3))*1/16$, la terza allo stesso modo è 1/16 e si ottiene il risultato che dici te.
tre facce uguali: praticamente eri arrivato tre facce uguali significa o tre 1 o tre 2 etc.. devi fare la somma della probabilità che escano tre 1 + prob che escano tre 2 e così via. ognuna di esse vale 1/36 ne hai 6.
la probabilità che escano 1,2,3 in un qualsiasi ordine. anche qua i vari eventi sono equiprobabili (1,2,3 ha la stessa probabilità di 2,1,3 etc..) quindi devi calcolare la probabilità di uno di essi e moltiplicare per tutti i possibili casi: la probabilità di uno è $1/6^3$ e sono $3!$ (puoi prendere una qualunque permutazione) ottieni 1/36
spero di essere stato chiaro, nel caso chiedi ancora
Ciao.
Prima di tutto, un NB: 1 non è considerato un numero primo E anche lo fosse, non si può produrre 1 come somma dei lanci di due dadi, quindi la cosa non crea problemi per il primo esercizio.
Condivido il procedimento di rubik. Aggiungo un metodo 'diretto', certamente non generalizzabile (perché qui si ha a che fare con numeri 'piccoli') ma che, credo, 'rende l'idea'.
1) Prendi come spazio campionario
$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^2$
identificando un lancio dei due dadi coi due risultati, cioè la coppia (risultato primo dado, risultato secondo dado). Allora le coppie totali sono 36 (cioè $Omega$ ha cardinalità $6^2=36$), e le coppie che producono un numero primo sono:
(1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (2,3), (3,2), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (5,6), (6,5)
E quindi esse sono 15. La probabilità richiesta vale quindi $(15)/(36)$.
2) Qui prendi come spazio campionario
$\Omega = \{0,1\}^4$
identificando i quattro lanci di moneta con la quadrupla (primo lancio, secondo lancio, terzo lancio, quarto lancio) dove per semplicità poniamo 0 = testa e 1 = croce. Evidentemente $Omega$ ha cardinalità $2^4=16$. Le quadruple con esattamente due teste sono:
(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1).
Esse sono 6, quindi la probabilità che escano esattamente due teste è $6/(16)=3/8$.
Gli eventi "almeno due teste" e "almeno tre croci " sono complementari. Le quadruple con almeno tre croci sono:
(1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,1,1)
Esse sono 5, quindi quelle con almeno due teste sono 16-5 =11. Quindi la probabilità che ci siano almeno due teste è $11/(16)$.
3) Prendi come spazio campionario
$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^3$
identificando un lancio di tre dadi con la terna (primo risultato, secondo risultato, terzo risultato). $\Omega$ ha cardinalità $6^3 = 216$.
a) L'evento "tre 6" è l'insieme $\{(6,6,6)\}$, e quindi c'è una sola terna da considerare, cioè la probabilità è $1/(216)$.
b) L'evento "tre facce uguali" è l'insieme $\{(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)\}$ che ha 6 elementi, quindi la probabilità richiesta vale $6/(216)=1/36$.
c) L'evento "1,2,3 in qualsiasi ordine" è l'insieme $\{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\}$ che ha 6 elementi, quindi la probabilità richiesta vale $6/(216)=1/(36)$.
Prima di tutto, un NB: 1 non è considerato un numero primo
E anche lo fosse, non si può produrre 1 come somma dei lanci di due dadi, quindi la cosa non crea problemi per il primo esercizio.Condivido il procedimento di rubik. Aggiungo un metodo 'diretto', certamente non generalizzabile (perché qui si ha a che fare con numeri 'piccoli') ma che, credo, 'rende l'idea'.
1) Prendi come spazio campionario
$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^2$
identificando un lancio dei due dadi coi due risultati, cioè la coppia (risultato primo dado, risultato secondo dado). Allora le coppie totali sono 36 (cioè $Omega$ ha cardinalità $6^2=36$), e le coppie che producono un numero primo sono:
(1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (2,3), (3,2), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (5,6), (6,5)
E quindi esse sono 15. La probabilità richiesta vale quindi $(15)/(36)$.
2) Qui prendi come spazio campionario
$\Omega = \{0,1\}^4$
identificando i quattro lanci di moneta con la quadrupla (primo lancio, secondo lancio, terzo lancio, quarto lancio) dove per semplicità poniamo 0 = testa e 1 = croce. Evidentemente $Omega$ ha cardinalità $2^4=16$. Le quadruple con esattamente due teste sono:
(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1).
Esse sono 6, quindi la probabilità che escano esattamente due teste è $6/(16)=3/8$.
Gli eventi "almeno due teste" e "almeno tre croci " sono complementari. Le quadruple con almeno tre croci sono:
(1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,1,1)
Esse sono 5, quindi quelle con almeno due teste sono 16-5 =11. Quindi la probabilità che ci siano almeno due teste è $11/(16)$.
3) Prendi come spazio campionario
$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^3$
identificando un lancio di tre dadi con la terna (primo risultato, secondo risultato, terzo risultato). $\Omega$ ha cardinalità $6^3 = 216$.
a) L'evento "tre 6" è l'insieme $\{(6,6,6)\}$, e quindi c'è una sola terna da considerare, cioè la probabilità è $1/(216)$.
b) L'evento "tre facce uguali" è l'insieme $\{(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)\}$ che ha 6 elementi, quindi la probabilità richiesta vale $6/(216)=1/36$.
c) L'evento "1,2,3 in qualsiasi ordine" è l'insieme $\{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\}$ che ha 6 elementi, quindi la probabilità richiesta vale $6/(216)=1/(36)$.
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