$\zeta$ di Riemann definita per valori naturali dispari

[caos81]

Uno dei motivi per cui ancora non si conoscono i valori esatti della funzione $\zeta$ di Riemann definita su valori naturali dispari è legato alla particolarità della sua equazione funzionale, infatti sostituendo un numero negativo pari alla seguente
$$
\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi}{2}\,s\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)\qquad\qquad{\rm (1)}
$$
essa si annulla in quanto $\sin[\frac{\pi}{2}\cdot(-2n)]=\sin(-\pi n)=0$. Cioé in pratica, il motivo per cui è difficile calcolare i valori esatti della $\zeta$ per i naturali dispari, sembra sia legato alla presenza degli zeri banali ($\zeta(-2n)=0$ per $n\in\mathbb{N}$).
Allora l'idea potrebbe essere quella riscrivere la (1) in questo modo
$$
\frac{\zeta(s)}{\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}\,s\right)}=2^s\pi^{s-1}\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
$$
e provare, ad esempio, a calcolare il limite
$$
\lim_{s\rightarrow-2}{\frac{\zeta(s)}{\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}\,s\right)}}=\frac{\zeta(-2)}{\sin(-\pi)}=\frac{0}{0}\qquad\textrm{forma indeterminata}
$$
ci scommetto la pelle che quel limite esiste,è finito ed è pure diverso da zero!!!. Il grosso problema è, a questo punto, trovare una buona espressione per $\zeta(-2)$ (o più in generale per $\zeta(-2n)$, magari una serie infinita e convergente a $0$) da utilizzare per calcolare il limite dato che la funzione seno a denominatore può essere sostituita con un polinomio infinito usando le formule di Taylor.
Qualcuno ha qualche idea?

[Zero87]

"caos81":ci scommetto la pelle che quel limite esiste,è finito ed è pure diverso da zero!!!.

Sono passati quasi due anni dalla mia laurea (con tesi sulla RH) e oltre al fatto che ormai non ricordo più un tubo, però posso osservare che se, come dici
\[ \frac{\zeta(s)}{\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}\,s\right)}=2^s\pi^{s-1}\Gamma(1-s)\zeta(1-s) \]
allora (in un intorno di 2 dovrebbero essere tutte funzioni continue)
$lim_(s->-2) \frac{\zeta(s)}{sin(s\pi/2)}=lim_(s->-2) 2^s\pi^{s-1}\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$
in cui
- $2^s->2^(-2)=1/4$;
- $pi^(s-1)->pi^(-3)$ che comunque esiste finito;
- $\Gamma(1-s)->\Gamma(3)=2! =2$
- $\zeta(1-s)->\zeta(3)$ che è compreso tra 1 e 2 ricordando la definizione della zeta come serie armonica per $x>1$.

Per calcolarlo non ne ho la più pallida idea, magari un paio di anni fa avevo risposte migliori.