Zeri "fissati" di una funzione $\mathcal{C}^{\infty}$

[Sk_Anonymous]

Problema. Sia [tex]K \subset \mathbb{R}[/tex] un insieme chiuso. Costruire una funzione [tex]f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] t.c. [tex]K=\{x \in \mathbb{R} \; : \; f(x)=0 \}[/tex]

Commento a latere. Si tratta probabilmente di un problema risolvibile mediante la teoria delle bump functions, ma la costruzione (non mia) che possiedo non ne fa uso in maniera consapevole. Dovrebbero ad ogni modo bastare le conoscenze di Analisi I.

[Rigel1]

Credo non si possa prescindere dalla conoscenza dal fatto che, dato un intervallo aperto \((a,b)\subset\mathbb{R}\), esiste una funzione \(\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R})\) tale che \(\varphi(x) \neq 0\) se e solo se \(x\in (a,b)\).
Se disponi di una dimostrazione che non ne fa uso, sono curioso di vederla.

[Sk_Anonymous]

Mi pare che la costruzione che abbiamo visto non faccia uso del risultato che citi. Ad ogni modo devo controllare.
Dammi qualche giorno e posto tutto per intero.