Versione locale dell'ultimo teorema di Fermat.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Il teorema di Schur afferma quanto segue

Per ogni \( m \in \mathbb{N} \) esiste \( S = S(m) \in \mathbb{N} \) tale che se i primi \( S \) interi positivi, i.e. \( \{ 1, \ldots, S \} \), sono colorati usando al massimo \( m \) colori allora esistono \( x,y,z \in \{ 1, \ldots, S \} \) monocromatici tale che \( x+y=z \).

Dimostrare quanto segue

Sia \( m \in \mathbb{N} \), esiste \( F = F(m) \) tale che per ogni primo \( p > F \) esistono \( x,y,z \in \{1,\ldots,p-1\} \) tale che
\[ x^m + y^m \equiv z^m \mod p \]

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Nessuno ?

[hydro1]

Premesso che a) non è una versione locale, è una versione modulo $p$, che è diverso e b) è una prova subdolamente artificiosa perchè è un claim che segue in una riga dal bound di Hasse-Weil, ecco qua:

Fissato $m$, sia $\sigma(m)$ il numero di divisori interi positivi di $m$ sia $S=S(\sigma(m))$ l'intero che viene da Schur. Ora sia $p$ un primo $p>S+1$. Coloriamo gli interi da $1$ a $p-1$ nel modo seguente: per ogni $d|m$, coloriamo uguali tutti gli interi $n$ tali che $d$ è l'ordine di $n$ nel quoziente \(\mathbb F_p^*/{\mathbb F_p^*}^m\). Adesso applichiamo Schur e troviamo $x,y,z$ tali che $x+y=z$. Per costruzione nessuno è divisibile per $p$ e in più hanno tutti lo stesso ordine $d$ fissato. Ma \(\mathbb F_p^*/{\mathbb F_p^*}^m\) è ciclico perchè \(\mathbb F_p^*\) lo è, quindi avere lo stesso ordine vuol dire che se $g\in \{1,\ldots,p-1\}$ genera il quoziente, allora $x\equiv g^{e/d}x'^m$, $y\equiv g^{e/d}y'^m$ e $z\equiv g^{e/d}z'^m$ per degli interi $x',y',z'$, dove $e$ è la cardinalità di quel quoziente. Adesso è fatta, basta moltiplicare la relazione $x+y=z$ per $g^{m-e/d}$.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Beh da quello che ho capito è il modo in cui Schur riuscì a dimostrare questo teorema. Cito le note di corso

Fermat's Last Theorem states that for \(m \geq 3 \) the equation \( x^m + y^m = z^m \) has no positive integer solutions \(x,y,z \in \mathbb{N} \). For centuries, this remained one of the biggest open problems in mathematics, and one whose intriguing nature captivated many mathematicians. Among them was also Issai Schur, who investigated a natural, localized version of Fermat's Last Theorem. More precisely, he wondered whether for any \(m \geq 2 \) the congruence equation
\[ x^m + y^m \equiv z^m \mod p (1.3.2) \]
posseses non-trivial solutions for all but finitely many primes. [...]
In order to adress (1.3.2), Schur proved a theorem that is often regarded as the earliest result in Ramsey Theory: Schur's Theorem. With the help of the above theorem, Schur was able to show that, contrary to Fermat's equation, its local contuerpart does posses non-trivial solutions.

Anyway posto la dimostrazione che è leggermente differente (ma non troppo)

Prendi \(F=S(m) \) dove \(S(m) \) è garantito dal teorema di Schur. Sia \(p \) un primo qualunque più grande di \(F\). E consideriamo l'insieme \( \mathbb{F}_p = \{ 0,\ldots,p-1\} \), naturalmente abbiamo che \( (\mathbb{F}_p,+,\cdot) \) è un campo. Sia \( \mathbb{F}_p^{\times} = \mathbb{F}_p \setminus \{ 0 \} \) e consideriamo l'insieme
\[ C:= \{ x^m : x \in \mathbb{F}_p^{\times} \} \]
Notiamo che \(C\) è un sottogruppo moltiplicativo di \( \mathbb{F}_p^{\times} \), in particolare abbiamo che \( \mathbb{F}_p^{\times} \) è può essere ricoperto con coinsiemi (cosets) di \(C\). Più precisamente abbiamo che esistono dei rappresentanti \(g_1,\ldots,g_r \in \mathbb{F}_p^{\times} \) tale che
\[ \mathbb{F}_p^{\times} = g_1 C \cup \ldots \cup g_r C \ \ \ (1.0)\]
ora poiché un polinomio a coefficienti in un campo di grado \(m\) possiede al massimo \(m\) radici abbiamo che per ogni \(y \in \mathbb{F}_p^{\times} \) l'equazione \(x^m \equiv y \mod p \) possiede al più \(m \) soluzioni poiché \(x^m -y \) ha al più \(m \) radici. Segue che \(C\) può avere al più \(m \) cosets, o in altre parole \(r \leq m \). Siccome \( p > F \) abbiamo che \( \{ 1,\ldots, F \} \subset \mathbb{F}_p^{\times} \) e quindi (1.0) è una partizione dell'insieme \( \{1,\ldots,F\} \) con \(r\) celle disgiunte. Possiamo pensare ad una partizione come ad una colorazione usando \(r\) colori. Poiché \(F=S(m)\) e \(r \leq m \) segue per il teorema di Schur che esistono monocromatici \( \tilde{x},\tilde{y}, \tilde{z} \in \{1,\ldots,F \} \) tale che \( \tilde{x}+\tilde{y} = \tilde{z} \), in altre parole appartengono al medesimo coinsieme. In particolare esiste un rappresentante \(g_i \) tale che \( \tilde{x},\tilde{y}, \tilde{z} \in g_iC \). Siano allora \(x,y,z \in \mathbb{F}_p^{\times} \) tale che
\[ \tilde{x} \equiv g_i x \mod p, \tilde{y} \equiv g_i y \mod p,\tilde{z} \equiv g_i z \mod p \]
Abbiamo allora che
\[ g_ix^m + g_i y^m \equiv g_i z^m \mod p \]
e poiché \(g_i \not\equiv 0 \mod p \) il risultato segue.

ps: penso che per locale intenda la localizzazione in \((p)\) dell'anello \( \mathbb{Z} \) che è \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)

[hydro1]

"3m0o":Beh da quello che ho capito è il modo in cui Schur riuscì a dimostrare questo teorema. Cito le note di corso

Aaaaah ok, se l'ha dimostrato Schur stesso è comprensibile perchè la prova del bound di Hasse-Weil arrivò solo con la prova dell'ipotesi di Riemann per curve, dopo la sua morte. Vista con occhio moderno è una prova anacronistica, ma ovviamente al suo tempo non lo era affatto.

"3m0o":
ps: penso che per locale intenda la localizzazione in \((p)\) dell'anello \( \mathbb{Z} \) che è \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)

Ma proprio no. \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) è un quoziente, la localizzazione è un'altra cosa. La versione locale è che quell'equazione ammette una soluzione non banale in $\mathbb Z_p$, cosa che effettivamente segue dalla versione modulo $p$ in una riga per il lemma di Hensel.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ma scusa \( \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} \) non è un anello locale per ogni \(n \geq 1 \) ?

[hydro1]

"3m0o":Ma scusa \( \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z} \) non è un anello locale per ogni \(n \geq 1 \) ?

Sì certo che lo è, ma non è la localizzazione di $\mathbb Z$ rispetto a niente. Una localizzazione di un anello di caratteristica 0 ha caratteristica 0.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Allora perché dice "localized version of the FLT"?

[hydro1]

"3m0o":Allora perché dice "localized version of the FLT"?

Questo bisognerebbe chiederlo a chi l'ha scritto.