Vediamo chi ci arriva per primo...

[Sk_Anonymous]

Senza l'uso del Calcolo, determinare il massimo della funzione :
$f(x,y)=xy^2-6xy-2y^2+9x+12y-18$
nel dominio definita da :
\(\displaystyle \begin{cases}x\ge 2\\y \ge 3\\x+y=8\end{cases} \)
con $x,y $ reali

[j18eos]

La prima parte è facile.

Dalla definizione del dominio si ha che:
\[
y=8-x
\]
sostituendo nella \(\displaystyle f\) e nella condizione sulla \(\displaystyle y\), si ottiene da studiare la funzione in una variabile reale:
\[
\begin{cases}
g(x)=(x-2)(x-5)^2\\
x\in[2;5]
\end{cases}
\]
Ovviamente ho omesso i tediosi calcoli.

Non ho concluso, ma qualche considerazione sono riuscito a ottenerla.

La funzione \(\displaystyle x-2\) è strettamente crescente, e la funzione \(\displaystyle(x-5)^2\) è decrescente nel precedente intervallo; quindi facendo qualche prova numerica si ha che il massimo di \(\displaystyle g\) è da ricercarsi nell'intervallo \(\displaystyle[2;a]\) con \(\displaystyle a<4\), basti calcolare il valore della funzione \(\displaystyle g\) in \(\displaystyle3\).

[ot]Mi viene in mente "Viva la mamma" di Gianni Morandi. [/ot]

[Sk_Anonymous]

Mi pare che possa andare. Farei solo un complemento alle " prove numeriche " nel modo che segue.

Partiamo da
\(\displaystyle f(x)=(x-2)(x-5)^2 \)
ed osserviamo che per
\(\displaystyle x=2,x=5 \)
la funzione si annulla e quindi in questi punti ha un minimo ( che non è richiesto dalla consegna)
Possiamo quindi limitarci alla funzione :
\(\displaystyle f(x)=(x-2)(5-x)^2,2 D'altra parte risulta
\(\displaystyle (x-2)+(5-x)=3 \)
e quindi avremo un massimo quando è :
\(\displaystyle (1) \frac{x-2}{1}=\frac{5-x}{2} \)
Ovvero per \(\displaystyle x=3 \)
Il massimo corrispondente è
\(\displaystyle f(3)= (3-2)(5-3)^2=4 \)
Per leggere una giustificazione della (1) andare all'indirizzo
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=47&t=114237

[elianto84]

Per disuguaglianza aritmo-geometrica (AM-GM), se \(\displaystyle x\in[2,5] \) si ha:
\(\displaystyle (x-2)(5-x)^2 = 4\cdot(x-2)\cdot\frac{5-x}{2}\cdot\frac{5-x}{2}\leq 4\cdot\left(\frac{(x-2)+\frac{5-x}{2}+\frac{5-x}{2}}{3}\right)^3 = 4\)
e il massimo è raggiunto quando \(\displaystyle (x-2)=\frac{5-x}{2} \), ossia in \(\displaystyle x=3 \).

[galessandroni]

"ciromario":Senza l'uso del Calcolo, determinare il massimo della funzione :
$f(x,y)=xy^2-6xy-2y^2+9x+12y-18$
nel dominio definita da :
\(\displaystyle \begin{cases}x\ge 2\\y \ge 3\\x+y=8\end{cases} \)
con $x,y $ reali

Per non saper né leggere, né scrivere - come si dice in gergo tecnico - riscriverei la funzione così:

$
{:
( f(x,y) = xy^2 - 6xy - 2y^2 + 9x + 12y - 18= ),
( =y^2(x-2)-6y(x-2) +9(x-2)= ),
( =(y^2 - 6y +9)(x-2)= ),
( =(y-3)^2(x-2) )
:}
$

Detto questo possiamo fare un cambio di variabili, ovvero:

${ ( x_1 = x -2 ),( y_1=y-3 ):}$

grazie al quale si ottiene:

$ f(x_1,y_1)=y_1^2 x_1 $

nel dominio definita da :

\(\displaystyle \begin{cases}x_1\ge 0\\y_1 \ge 0\\x_1+y_1=3 \rightarrow x_1 = 3-y_1 \end{cases} \)

con $x_1,y_1 $ reali.

Con questo vincolo si ottiene:

$f(y_1) = y_1^2(3-y_1)$

Però a questo punto devo fare una derivata e baro, giusto?