Valore medio corde di una circonferenza
Buon pomeriggio,
vorrei esporvi un dubbio/riflessione:
Come posso formalizzare il calcolo del valore medio della corda di una circonferenza?
Perché, ad sensum, direi che questo valore corrisponde al raggio della circonferenza, anche riflettendo sul fatto che, volendo, si può considerare la distribuzione di tutte le lunghezze possibili delle corde una distribuzione uniforme e quindi il valor medio sarebbe uguale alla media dei valori.
Non so però come giustificare praticamente questo ragionamento, qualora fosse corretto.
Grazie a chi mi risponderà
Giulia
vorrei esporvi un dubbio/riflessione:
Come posso formalizzare il calcolo del valore medio della corda di una circonferenza?
Perché, ad sensum, direi che questo valore corrisponde al raggio della circonferenza, anche riflettendo sul fatto che, volendo, si può considerare la distribuzione di tutte le lunghezze possibili delle corde una distribuzione uniforme e quindi il valor medio sarebbe uguale alla media dei valori.
Non so però come giustificare praticamente questo ragionamento, qualora fosse corretto.
Grazie a chi mi risponderà
Giulia
Risposte
Prova ad applicare il teorema della corda e il teorema del media integrale.
Chiamiamo $y$ la lunghezza della corda e $x$ l'angolo corrispondente, applicando il teorema della corda si ha:
$y=2R\sin(x/2)$ con $x \in [0,\pi]$
Applichiamo il teorema della media integrale:
$$\frac{2R}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(\frac{x}{2})dx=\frac{4}{\pi}R$$
Chiamiamo $y$ la lunghezza della corda e $x$ l'angolo corrispondente, applicando il teorema della corda si ha:
$y=2R\sin(x/2)$ con $x \in [0,\pi]$
Applichiamo il teorema della media integrale:
$$\frac{2R}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(\frac{x}{2})dx=\frac{4}{\pi}R$$
Ciao, grazie per la risposta... Nel frattempo avevo risolto la cosa nel modo seguente:
Ho direttamente impiegato il teorema della media integrale alla funzione $2sqrt(r^2-y^2)dy$, solo che ottengo come risultato dell'integrale valutato sull'intervallo $[-r,r]$ il valore di $pi/2r$... A questo punto, capisco e mi sembra logico il tuo ragionamento, ma anche il mio sembra non mostrare intoppi...Perché due risultati diversi?
Ho direttamente impiegato il teorema della media integrale alla funzione $2sqrt(r^2-y^2)dy$, solo che ottengo come risultato dell'integrale valutato sull'intervallo $[-r,r]$ il valore di $pi/2r$... A questo punto, capisco e mi sembra logico il tuo ragionamento, ma anche il mio sembra non mostrare intoppi...Perché due risultati diversi?
La funzione $y=\sqrt{r^2-x^2}$ graficamente in $[-r,r]$ è la semicirconferenza superiore di raggio $r$, appunto, l'ordinata però non indica la lunghezza della corda, quindi la funzione non ci da alcun indizio su come variano le lunghezze delle corde al variare di $x$. Non so se mi sono spiegato bene...
Non mi è chiarissimo, ma perché io continuo a vedere $f(y)=sqrt(r^2-y^2)$ come la distanza (al variare di y, tutte le possibili distanze) tra il punto di coordinate (r,0) e il punto di coordinate (y,0) che mi da, al variare di y, tutte le possibili semicorde (si chiamano così?)...
In effetti ora che sto vedendo con più attenzione il tuo ragionamento fila...
La tua funzione $f(x)$ ( metto $x$ per convenzione ) indica la distanza tra il punto $(x,0)$ e $(x,f(x))$ che è proprio la semicorda
c'è qualcosa che mi sfugge...
La tua funzione $f(x)$ ( metto $x$ per convenzione ) indica la distanza tra il punto $(x,0)$ e $(x,f(x))$ che è proprio la semicorda
c'è qualcosa che mi sfugge...
curioso... 
Mi sembra che la tua domanda sia strettamente legata a problemi come il paradosso di Bertrand: in sostanza il problema è stabilire cosa significhi prendere una corda "a caso" di una circonferenza. Ciò può essere fatto in vari modi e a seconda del modo scelto si ottengono risultati diversi: è a questo che si riferisce la parola "paradosso".
It's very interesting, grazie per l'informazione
Da come è posto il problema inizialmente, non mi pare che c'entri la casualità.
C'entra invece in che modo si fa variare la corda per farne la media, ossia al variare di che cosa si considera la media.
Oddio: magari alla fine è lo stesso di scegliere una particolare distribuzione di probabilità arrivando alla stessa incertezza ... "paradossale".
–––––––––
Considerando il triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza di raggio $R$ e come "corda" un suo cateto, al variare di un angolo (acuto) x da 0 a π/2 (esclusi) viene quel che ha scritto dan 95 cioè
= $\frac{2R}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(\frac{x}{2})dx=\frac{4}{\pi}R ≈ 1,27·R$.
Seguendo invece il ragionamento di laska, ossia prendendo come "corda" il doppio dell'ordinata della semicirconferenza di equazione cartesiana $y =sqrt(R^2-x^2)$, al variare di x tra -R ed R, si trova:
= $\frac[1}{\2R}\int_{–R}^{\R}2sqrt(R^2-x^2)dx = π/2R ≈ 1,57·R$.
[Senza integrali:
L'area di mezzo cerchio è $π/2R^2$. "Spianando" il mezzo cerchio in un rettangolo di base $2R$, l'altezza viene $π/4R$.
La corda media è il doppio di questa altezza, cioè $π/2R$.]
_______
C'entra invece in che modo si fa variare la corda per farne la media, ossia al variare di che cosa si considera la media.
Oddio: magari alla fine è lo stesso di scegliere una particolare distribuzione di probabilità arrivando alla stessa incertezza ... "paradossale".
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Considerando il triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza di raggio $R$ e come "corda" un suo cateto, al variare di un angolo (acuto) x da 0 a π/2 (esclusi) viene quel che ha scritto dan 95 cioè
Seguendo invece il ragionamento di laska, ossia prendendo come "corda" il doppio dell'ordinata della semicirconferenza di equazione cartesiana $y =sqrt(R^2-x^2)$, al variare di x tra -R ed R, si trova:
[Senza integrali:
L'area di mezzo cerchio è $π/2R^2$. "Spianando" il mezzo cerchio in un rettangolo di base $2R$, l'altezza viene $π/4R$.
La corda media è il doppio di questa altezza, cioè $π/2R$.]
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Grazie a tutti per l'interessamento... Non pensavo potesse uscirne una cosa "non banale".
Il calcolo ha scopi pratici e lo scarto tra le due misure (calcolate con i due diversi procedimenti) è di circa 10 micron... Una quantità che posso giudicare trascurabile (ai fini dell'esperimento).
Il calcolo ha scopi pratici e lo scarto tra le due misure (calcolate con i due diversi procedimenti) è di circa 10 micron... Una quantità che posso giudicare trascurabile (ai fini dell'esperimento).
"laska":
Non mi è chiarissimo, ma perché io continuo a vedere $f(y)=sqrt(r^2-y^2)$ come la distanza (al variare di y, tutte le possibili distanze) tra il punto di coordinate (r,0) e il punto di coordinate (y,0) che mi da, al variare di y, tutte le possibili semicorde (si chiamano così?)...
Il motivo è semplice:
tu non stai calcolando la lunghezza media di tutte le corde di una circonferenza, ma solo la lunghezza media delle corde che uniscono 2 estremi simmetrici tra loro rispetto al diametro.
Nel tuo caso quindi la somma di queste lunghezze è l'area del cerchio $\pi R^2$;
questa somma diviso per il "numero di corde" $2R$ fornisce il tuo risultato: $\frac{\pi R^2}{2R}=\frac{\pi R}{2}$
Il problema originale invece chiede di trovare la lunghezza media di tutte le corde,
"Erasmus_First":
Da come è posto il problema inizialmente, non mi pare che c'entri la casualità.
C'entra invece in che modo si fa variare la corda per farne la media, ossia al variare di che cosa si considera la media.
Oddio: magari alla fine è lo stesso di scegliere una particolare distribuzione di probabilità arrivando alla stessa incertezza ... "paradossale".
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Considerando il triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza di raggio $ R $ e come "corda" un suo cateto, al variare di un angolo (acuto) x da 0 a π/2 (esclusi) viene quel che ha scritto dan 95 cioè
= $ \frac{2R}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(\frac{x}{2})dx=\frac{4}{\pi}R ≈ 1,27·R $.
Seguendo invece il ragionamento di laska, ossia prendendo come "corda" il doppio dell'ordinata della semicirconferenza di equazione cartesiana $ y =sqrt(R^2-x^2) $, al variare di x tra -R ed R, si trova:
= $ \frac[1}{\2R}\int_{–R}^{\R}2sqrt(R^2-x^2)dx = π/2R ≈ 1,57·R $.
[Senza integrali:
L'area di mezzo cerchio è $ π/2R^2 $. "Spianando" il mezzo cerchio in un rettangolo di base $ 2R $, l'altezza viene $ π/4R $.
La corda media è il doppio di questa altezza, cioè $ π/2R $.]
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"dan95":
In effetti ora che sto vedendo con più attenzione il tuo ragionamento fila...
La tua funzione $f(x)$ ( metto $x$ per convenzione ) indica la distanza tra il punto $(x,0)$ e $(x,f(x))$ che è proprio la semicorda
Il motivo è semplice, lui non stai calcolando la media delle lunghezze di tutte le corde, ma solo la media delle lunghezze delle corde che uniscono tra loro 2 punti simmetrici rispetto al diametro 'orizzontale'.
Il problema originale chiedeva invece la lunghezza media di tutte le corde, valore che è correttamente uguale a $\frac{4 R}{\pi} \approx 1.27 R$
Dove sta l'inghippo?
Nel suo caso:
la somma delle lunghezze delle corde è $\pi R^2$,
diviso il 'numero' di corde $2R$ poichè $x \in [-R,R]$
dà come risultato $\frac{\pi R^2}{2R} = \frac{\pi R}{2} \approx 1.57 R$
ma è scorretto pensare che per ciascun valore x esista una sola corda: non solo ne esistono infinite, ma più importante la media delle lunghezze delle corde passanti per ciascun punto del diametro non coincide con la lunghezza della corda perpendicolare al diametro in quel punto.
Esempio: mentre se consideri tutte le corde passanti per il centro, effettivamente la loro lunghezza media è $2R$, se invece consideri le lunghezze di tutte le corde passanti per il punto $[R,0]$ è evidente che il loro valor medio è maggiore di zero (mentre zero è invece la lunghezza dell'unica corda passante per $[R,0]$ e perpendicolare al diametro in quel punto).
Quindi per riassumere: il ragionamento che parte dalle semicorde perpendicolari al diametro orizzontale non tiene conto di tutte le corde.
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