Una strana convergenza

[Andrea2976]

Sia $f$ una funzione reale definita e continua su $(0,1]$. Se esistono $M \in \R_{+}$ e $H \in (\frac{1}{2},1)$ tali
che:

$|f(s)| \leq Ms^{\frac{1}{2}-H} \quad , \quad s\in (0,1]$

allora

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} n (\int_{\frac{i-1}{n} }^{\frac{i}{n}}f(s)ds)^{2}=\int_{0}^{1}f^{2}(s)ds$

P.S. Ho una mia dimostrazione che risale ai tempi della laurea.

[Rigel1]

In realtà non si tratta di una convergenza particolarmente "strana".
Per ogni $n\in\NN^+$ definiamo la funzione costante a tratti
\( f_n(t) = n\int_{(i-1)/n}^{i/n} f(s) ds\), se \( t\in (\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}] \), \( i\in\{1, \ldots, n\} \).
La $f_n$ non è altro che la funzione ottenuta da $f$ usando, su ogni intervallino, la media integrale di $f$ stessa come valore costante nell'intervallino.
Poiché $f$ è continua abbiamo che, in particolare, $f_n(t) \to f(t)$ per ogni $t\in (0,1]$.
La relazione data equivale a
\[
(1) \qquad \lim_n \int_0^1 f_n(t)^2 dt = \int_0^1 f(t)^2 dt.
\]
Basta dunque dimostrare che, ad esempio, è possibile utilizzare il teorema di convergenza dominata.
Abbiamo che, per \( t\in (\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}] \),
\[
\begin{align}
|f_n(t)| & \leq \frac{M}{1-\alpha} \left[ \left(\frac{i}{n}\right)^{1-\alpha} - \left(\frac{i-1}{n}\right)^{1-\alpha}\right]
\leq \frac{M}{1-\alpha} \left(\frac{i}{n}\right)^{1-\alpha} \left[1 - \left(\frac{i-1}{i}\right)^{1-\alpha}\right] \\
& \leq \frac{M}{1-\alpha} \left(\frac{i}{n}\right)^{-\alpha} \leq \frac{M}{1-\alpha} t^{-\alpha},
\end{align}
\]
dove $\alpha = H - 1/2 \in (0, 1/2)$ e nel penultimo passaggio abbiamo usato la disuguaglianza \( (1-t)^{1-\alpha} - 1 + t\geq 0 \) per ogni $t\in [0,1]$.
In conclusione \( |f_n(t)|^2 \leq C t^{-2\alpha} \) per ogni $t\in (0,1]$ e per ogni $n\in\NN^+$; possiamo dunque applicare il teorema di convergenza dominata e ottenere (1).

[Andrea2976]

Ciao Rigel,

bella dimostrazione, elegante direi.
Effettivamente il titolo scelto rispecchiava il fatto che non mi venisse in mente un titolo opportuno.

Andrea

P.S. Noto che gli esercizi di analisi sono sempre i più gettonati o i più papabili a qualche risoluzione nel forum.

[dissonance]

Questa roba mi ricorda un po' i polinomi di Kantorovich, visti durante il locale corso di Analisi tenuto da Francesco Altomare:

http://www.encyclopediaofmath.org/index ... h_operator

(nel testo sono chiamati \(K_n\)). [OT]Ah a proposito. Avete notato che la Springer Encyclopaedia of Mathematics ha cambiato indirizzo? Attenzione perché i vecchi link sono ora inattivi. E io che li avevo inseriti pure nella tesi di laurea!