Una somma di coseni ( o quasi !)
Dopo la somma di seni vorrei proporre una somma di coseni. Più precisamente propongo di dimostrare che è :
$\sum_{k=1}^{k=n-1}1/{cos^2({k pi}/{2n})}=2/3(n^2-1)$
$\sum_{k=1}^{k=n-1}1/{cos^2({k pi}/{2n})}=2/3(n^2-1)$
Risposte
Propongo questa soluzione algebrica, probabilmente c' è n'è un'altra più immediata che utilizza identità trigonomertriche.
Sia
\( \displaystyle z \in \mathbb{C} : |z|=1\) e \( \displaystyle \xi=z+\overline{z}\)
Consideriamo i polinomi \( P_k(\xi)\) cosi definiti:
\( P_k(\xi)=z^{2k}+\overline{z}^{2k}\) per \( k=0,1,2, \cdots\)
\( P_0(\xi)=2,P_1(\xi)=z^2+\overline{z}^2=(z+\overline{z})^2-2z\overline{z}=\xi^2-2\).
Ricaviamo una formula ricorsiva per questi polinomi:
\( \displaystyle P_{k}\xi^{2}=\left(z^{2k}+\overline{z}^{2k}\right)\left(z^{2}+\overline{z}^{2}+2\right)=z^{2(k+1)}+\overline{z}^{2(k+1)}+z^{2(k-1)}+\overline{z}^{2(k-1)}+2\left(z^{2k}+\overline{z}^{2k}\right)=\)
\(P_{k+1}(\xi)+P_{k-1}(\xi)+2P_{k}(\xi)\)
e quindi
A:\( \displaystyle P_{k+1}(\xi)=\left(\xi^{2}-2\right)P_{k}\left(\xi\right)-P_{k}\left(\xi\right)\).
\(\displaystyle P_0(\xi)=2, P_1(\xi)=\xi^2-2,P_2(\xi)=\xi^4-4\xi^2+2\)
I Polinomi \( P_k(\xi) \) sono rispettivamente di grado \( 2k \) e sono funzioni pari di \( \xi\) quindi contengono solo potenze di \( \xi\) con esponente pari.
\(P_{2k+2}=\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k+1}-P_{2k} \)
\( P_{2k}=\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k-1}-P_{2k-2}\)
\( P_{2k+1}=\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k}-P_{2k-1}\)
e quindi:
\( \displaystyle P_{2k+2}=\left(\xi^{2}-2\right)\left[\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k}-P_{2k-1}\right]-P_{2k=}\left(\xi^{2}-2\right)^{2}P_{2k}-\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k-1}-P_{2k}\)
\( \displaystyle =\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k}-2P_{2k}-P_{2(k-1)}=\left(\xi^{2}-4\xi^{2}+2\right)P_{2k}-P_{2(k-1)}\).
Poniamo \( \displaystyle Q_k(\xi)=P_{2k}(\xi)\) e quindi abbiamo:
B:\( \displaystyle Q_{k+1}=\left(\xi^{4}-4\xi^{2}+2\right)Q_{k}-Q_{k-1}\)
\( \displaystyle Q_0(\xi)=0, Q_1(\xi)=\xi^4-4\xi^2+2\)
I polinomi \(Q_k(\xi) \) sono di grado \( 4k \) e contengono solo potenza di \( \xi\) con esponenti pari.
L'equazione \( Q_n(\xi)=2\) cioè \( z^{4n}+\overline{z}^{4n}-2=0\) ammette come soluzioni
\(\displaystyle z_k=e^{\frac{2\pi}{4n}k}=e^{\frac{\pi}{2n}k}\) per \( k=0,1 \cdots 4n-1\)
ovvero \( \displaystyle \xi_k=2 \cos{\frac{\pi k}{2n}}\) per \( k=0,1 \cdots 4n-1\)
Osserviamo che la soluzione \( \xi=0=\xi_n=\xi_{3n}\) è doppia quindi \( Q_k(\xi)-2\) è divisibile per \( \xi ^2\).
Consideriamo quindi i polinomi
\(\displaystyle f(\xi)=\frac{Q_k(\xi)-2}{\xi^2}\) di gradi rispettivamente \( 4k-2\)
\( \displaystyle f_0(\xi)=0, f_1(\xi)=\xi^2-4\)
Utilizzando la formula ricorsive per \( Q_k\) otteniamo:
\(\displaystyle \xi^{2}f_{k+1}+2=\left(\xi^{4}-4\xi^{2}+2\right)\left(\xi^{2}f_{k}+2\right)-\xi^{2}f_{k-1}-2 \)
e con semplici passaggi si ottiene:
\( \displaystyle f_{k+1}=\left(\xi^{4}-4\xi^{2}+2\right)f_{k}-f_{k-1}+2\xi^{2}-8\)
Il polinomio \( f_n(\xi)\) è di grado \( 4n-2\) e ha radici \( \displaystyle \xi_k=2 \cos{\frac{k\pi}{2n}}\) con \(\displaystyle 0 \leq k < 4n\) e \( k \neq n, 3n\).
Infine poniamo \( \displaystyle f_k(\xi)=g_k(\xi^2)\)
\( \displaystyle g_0(\xi)=0, g_1(\xi)=\xi-4\)
Il polinomio \( g_n(\xi)\) ha grado \( 2n-1\) e radici \(\displaystyle 4 \cos^2{\frac{k \pi}{2n}}\) \(\displaystyle k=0,1,\cdots n-1,n+1,\cdots 2n-1 \)
inoltre vale la relazione:
C: \( \displaystyle g_{k+1}=\left(\xi^{2}-4+2\right)g_{k}-g_{k-1}+2-8\)
Per le note relazioni tra le radici e i coefficienti di un polinomio possiamo scrivere:
D: \( \displaystyle -\frac{g'_{n}(0)}{g_{n}(0)}=\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{1}{4\cos^2\frac{k\pi}{2n}}=\frac{1}{4}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\cos^{2}\frac{k\pi}{2n}}+\sum_{k=n+1}^{2n-1}\frac{1}{\cos^{2}\frac{k\pi}{2n}}\right)=\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(1+2\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\cos^{2}\frac{k\pi}{2n}}\right)=\frac{1}{4}(1+2S_n)\)
Dall C per \( \xi=0\) otteniamo:
\( \displaystyle g_{k+1}(0)=-4g_k(0)-g_{k-1}(0)-8\)
Ponendo \( g_k(0)=a_k\) abbiamo:
\( \displaystyle a_{k+1}-2a_k+a_{k-1}=-8\)
oppure:
\( a_{k+2}-2 a_{k+1}+a_k=-8\) con \( a_0=0, a_1=1\)
\( \displaystyle \Delta^2 a_k=-8\)
\( \displaystyle \Delta a_k=-8 k^{(1)}+c_1\)
\( \displaystyle a_k=-4 k^{(2)}+c_1k^{(1)}+c2\) (ricordiamo che \( n^{(k)}=n(n-1)\cdots (n-k+1)\))
Imponendo le condizioni iniziali si trova \( c_2=0, c_1=1\) e quindi
\( \displaystyle a_k=-4k^2\)
Derivando la C
\( \displaystyle g'_{k+1}(\xi)=(2\xi-4)g_k(\xi)+(\xi^2-4\xi+2)g'_k(\xi)-g'_{k-1}(\xi)+2\)
per \( \xi=0\)
\(\displaystyle g'_{k+1}(0)=-4g_k(0)-g'_{k-1}(0)+2g'_k(0)+2 \)
Ponendo \( b_k=g_k(0)\)
\( \displaystyle b_{k+1}=-4a_k-b_{k-1}+2+2b_k\)
\( \displaystyle b_{k+1}-2b_k+b_{k-1}=16k^2+2\)
\( \displaystyle \Delta^2 a_{k-1}=16k^2+2\)
oppure
\( \displaystyle \Delta^2 b_k=16(k+1)^2+2=16k^{(2)}+32k^{(1)}+18\) con \( \displaystyle b_0=0, b_1=1\)
e quindi
\( \displaystyle \Delta b_k=\frac{16}{3}k^{(3)}+16k^{(2)}+18k^{(1)}+c_1\)
\( \displaystyle b_k=\frac{4}{3}k^{(4)}+8k^{(3)}+9k^{(2)}+c_1k^{(1)}+c_2\)
Imponendo le condizioni si trova \( c_2=0, c_1=1\) e quindi
\( \displaystyle b_k=\frac{4}{3}k^{(4)}+8k^{(3)}+k^{(2)}+9k^{(1)}=\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}k(k-1)(k-2)(k-3)+8k(k-1)(k-2)+8k(k-1)(k-2)+9k(k-1)+k=\frac{k^2}{3}(4k^2-1)\)
Sostituendo nella D si ha
\( \displaystyle \frac{n^2(4n^2-1)}{12n^2}=\frac{1}{4}(1+2S_n)\)
da cui infine
\( \displaystyle S_n=\frac{2}{3}(n^2-1)\).
Sia
\( \displaystyle z \in \mathbb{C} : |z|=1\) e \( \displaystyle \xi=z+\overline{z}\)
Consideriamo i polinomi \( P_k(\xi)\) cosi definiti:
\( P_k(\xi)=z^{2k}+\overline{z}^{2k}\) per \( k=0,1,2, \cdots\)
\( P_0(\xi)=2,P_1(\xi)=z^2+\overline{z}^2=(z+\overline{z})^2-2z\overline{z}=\xi^2-2\).
Ricaviamo una formula ricorsiva per questi polinomi:
\( \displaystyle P_{k}\xi^{2}=\left(z^{2k}+\overline{z}^{2k}\right)\left(z^{2}+\overline{z}^{2}+2\right)=z^{2(k+1)}+\overline{z}^{2(k+1)}+z^{2(k-1)}+\overline{z}^{2(k-1)}+2\left(z^{2k}+\overline{z}^{2k}\right)=\)
\(P_{k+1}(\xi)+P_{k-1}(\xi)+2P_{k}(\xi)\)
e quindi
A:\( \displaystyle P_{k+1}(\xi)=\left(\xi^{2}-2\right)P_{k}\left(\xi\right)-P_{k}\left(\xi\right)\).
\(\displaystyle P_0(\xi)=2, P_1(\xi)=\xi^2-2,P_2(\xi)=\xi^4-4\xi^2+2\)
I Polinomi \( P_k(\xi) \) sono rispettivamente di grado \( 2k \) e sono funzioni pari di \( \xi\) quindi contengono solo potenze di \( \xi\) con esponente pari.
\(P_{2k+2}=\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k+1}-P_{2k} \)
\( P_{2k}=\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k-1}-P_{2k-2}\)
\( P_{2k+1}=\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k}-P_{2k-1}\)
e quindi:
\( \displaystyle P_{2k+2}=\left(\xi^{2}-2\right)\left[\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k}-P_{2k-1}\right]-P_{2k=}\left(\xi^{2}-2\right)^{2}P_{2k}-\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k-1}-P_{2k}\)
\( \displaystyle =\left(\xi^{2}-2\right)P_{2k}-2P_{2k}-P_{2(k-1)}=\left(\xi^{2}-4\xi^{2}+2\right)P_{2k}-P_{2(k-1)}\).
Poniamo \( \displaystyle Q_k(\xi)=P_{2k}(\xi)\) e quindi abbiamo:
B:\( \displaystyle Q_{k+1}=\left(\xi^{4}-4\xi^{2}+2\right)Q_{k}-Q_{k-1}\)
\( \displaystyle Q_0(\xi)=0, Q_1(\xi)=\xi^4-4\xi^2+2\)
I polinomi \(Q_k(\xi) \) sono di grado \( 4k \) e contengono solo potenza di \( \xi\) con esponenti pari.
L'equazione \( Q_n(\xi)=2\) cioè \( z^{4n}+\overline{z}^{4n}-2=0\) ammette come soluzioni
\(\displaystyle z_k=e^{\frac{2\pi}{4n}k}=e^{\frac{\pi}{2n}k}\) per \( k=0,1 \cdots 4n-1\)
ovvero \( \displaystyle \xi_k=2 \cos{\frac{\pi k}{2n}}\) per \( k=0,1 \cdots 4n-1\)
Osserviamo che la soluzione \( \xi=0=\xi_n=\xi_{3n}\) è doppia quindi \( Q_k(\xi)-2\) è divisibile per \( \xi ^2\).
Consideriamo quindi i polinomi
\(\displaystyle f(\xi)=\frac{Q_k(\xi)-2}{\xi^2}\) di gradi rispettivamente \( 4k-2\)
\( \displaystyle f_0(\xi)=0, f_1(\xi)=\xi^2-4\)
Utilizzando la formula ricorsive per \( Q_k\) otteniamo:
\(\displaystyle \xi^{2}f_{k+1}+2=\left(\xi^{4}-4\xi^{2}+2\right)\left(\xi^{2}f_{k}+2\right)-\xi^{2}f_{k-1}-2 \)
e con semplici passaggi si ottiene:
\( \displaystyle f_{k+1}=\left(\xi^{4}-4\xi^{2}+2\right)f_{k}-f_{k-1}+2\xi^{2}-8\)
Il polinomio \( f_n(\xi)\) è di grado \( 4n-2\) e ha radici \( \displaystyle \xi_k=2 \cos{\frac{k\pi}{2n}}\) con \(\displaystyle 0 \leq k < 4n\) e \( k \neq n, 3n\).
Infine poniamo \( \displaystyle f_k(\xi)=g_k(\xi^2)\)
\( \displaystyle g_0(\xi)=0, g_1(\xi)=\xi-4\)
Il polinomio \( g_n(\xi)\) ha grado \( 2n-1\) e radici \(\displaystyle 4 \cos^2{\frac{k \pi}{2n}}\) \(\displaystyle k=0,1,\cdots n-1,n+1,\cdots 2n-1 \)
inoltre vale la relazione:
C: \( \displaystyle g_{k+1}=\left(\xi^{2}-4+2\right)g_{k}-g_{k-1}+2-8\)
Per le note relazioni tra le radici e i coefficienti di un polinomio possiamo scrivere:
D: \( \displaystyle -\frac{g'_{n}(0)}{g_{n}(0)}=\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{1}{4\cos^2\frac{k\pi}{2n}}=\frac{1}{4}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\cos^{2}\frac{k\pi}{2n}}+\sum_{k=n+1}^{2n-1}\frac{1}{\cos^{2}\frac{k\pi}{2n}}\right)=\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\left(1+2\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\cos^{2}\frac{k\pi}{2n}}\right)=\frac{1}{4}(1+2S_n)\)
Dall C per \( \xi=0\) otteniamo:
\( \displaystyle g_{k+1}(0)=-4g_k(0)-g_{k-1}(0)-8\)
Ponendo \( g_k(0)=a_k\) abbiamo:
\( \displaystyle a_{k+1}-2a_k+a_{k-1}=-8\)
oppure:
\( a_{k+2}-2 a_{k+1}+a_k=-8\) con \( a_0=0, a_1=1\)
\( \displaystyle \Delta^2 a_k=-8\)
\( \displaystyle \Delta a_k=-8 k^{(1)}+c_1\)
\( \displaystyle a_k=-4 k^{(2)}+c_1k^{(1)}+c2\) (ricordiamo che \( n^{(k)}=n(n-1)\cdots (n-k+1)\))
Imponendo le condizioni iniziali si trova \( c_2=0, c_1=1\) e quindi
\( \displaystyle a_k=-4k^2\)
Derivando la C
\( \displaystyle g'_{k+1}(\xi)=(2\xi-4)g_k(\xi)+(\xi^2-4\xi+2)g'_k(\xi)-g'_{k-1}(\xi)+2\)
per \( \xi=0\)
\(\displaystyle g'_{k+1}(0)=-4g_k(0)-g'_{k-1}(0)+2g'_k(0)+2 \)
Ponendo \( b_k=g_k(0)\)
\( \displaystyle b_{k+1}=-4a_k-b_{k-1}+2+2b_k\)
\( \displaystyle b_{k+1}-2b_k+b_{k-1}=16k^2+2\)
\( \displaystyle \Delta^2 a_{k-1}=16k^2+2\)
oppure
\( \displaystyle \Delta^2 b_k=16(k+1)^2+2=16k^{(2)}+32k^{(1)}+18\) con \( \displaystyle b_0=0, b_1=1\)
e quindi
\( \displaystyle \Delta b_k=\frac{16}{3}k^{(3)}+16k^{(2)}+18k^{(1)}+c_1\)
\( \displaystyle b_k=\frac{4}{3}k^{(4)}+8k^{(3)}+9k^{(2)}+c_1k^{(1)}+c_2\)
Imponendo le condizioni si trova \( c_2=0, c_1=1\) e quindi
\( \displaystyle b_k=\frac{4}{3}k^{(4)}+8k^{(3)}+k^{(2)}+9k^{(1)}=\)
\(\displaystyle =\frac{4}{3}k(k-1)(k-2)(k-3)+8k(k-1)(k-2)+8k(k-1)(k-2)+9k(k-1)+k=\frac{k^2}{3}(4k^2-1)\)
Sostituendo nella D si ha
\( \displaystyle \frac{n^2(4n^2-1)}{12n^2}=\frac{1}{4}(1+2S_n)\)
da cui infine
\( \displaystyle S_n=\frac{2}{3}(n^2-1)\).
@totissimus: incomprensibile.
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