Una serie ... sviluppabile in serie di Fourier.
La serie:
$F(x) = sin(x)-(sin^3(x))/3 +(sin^5(x))/5-(sin^7(x))/7+ ... +(-1)^n(sin^(2n+1)(x))/(2n+1)+...$
converge in ogni $x$ reale [perché è a segni alterni e l'addendo corrente è infinitesimo].
a) A quale funzione converge la serie $F(x)$ ?
[$F(x) = $???]
Lo sviluppo di F(x) in serie di Fourier è del tipo:
$F(x) = S_1sin(x) + S_3sin(3x) + S_5sin(5x) + ... + S_(2n+1)sin[(2n+1)x]+...$
b) Qual è l'effettivo sviluppo in serie di Fourier di $F(x)$ ?
[$S_(2n+1) = $???]
1.
2. NB. Sconsiglio il calcolo integrale per trovare le ampiezze $S_(2n+1)$ delle componenti armoniche!
$F(x) = sin(x)-(sin^3(x))/3 +(sin^5(x))/5-(sin^7(x))/7+ ... +(-1)^n(sin^(2n+1)(x))/(2n+1)+...$
converge in ogni $x$ reale [perché è a segni alterni e l'addendo corrente è infinitesimo].
a) A quale funzione converge la serie $F(x)$ ?
[$F(x) = $???]
Lo sviluppo di F(x) in serie di Fourier è del tipo:
$F(x) = S_1sin(x) + S_3sin(3x) + S_5sin(5x) + ... + S_(2n+1)sin[(2n+1)x]+...$
b) Qual è l'effettivo sviluppo in serie di Fourier di $F(x)$ ?
[$S_(2n+1) = $???]
1.
2. NB. Sconsiglio il calcolo integrale per trovare le ampiezze $S_(2n+1)$ delle componenti armoniche!
Risposte
Dopo una settimana, 105 visite e nessun intervento ... mi rispondo io.
Le domande erano due.
a) A quale funzione – diciamola $f(x)$ – tende la serie
$ sin(x)-(sin^3(x))/3 +(sin^5(x))/5-(sin^7(x))/7+ ... +(-1)^n(sin^(2n+1)(x))/(2n+1)+...$ ? (1)
b) Qual è lo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)$ [alla quale tende la serie in (1) ] ?
Risposte
a) La risposta alla prima domanda è molto facile. Basta ricordare che, per $| t |≤ 1$, si ha
$arctan(t) = t - t^3/3 + t^5/5 - t^7/7 + ... + (-1)^n t^(2n+1)/(2n+1) + ... $ (2) (*)
ed osservare che per ogni $x$ reale $|sin(x)| ≤ 1$ per concludere che
$f(x) = arctan[sin(x)]$. (3)
[size=90](*) Siccome la funzione $x = tan(y)$ è monòtona crescente nell'intervallo aperto $-π/2 < y < π/2$ e la sua derivata è
$d/(dy)tan(y) = 1/(cos^2(y)) = 1 + tan^2(y)$,
la derivata della funzione inversa $y=arctan(x)$ è
$d/(dx)arctan(x) =1/(1 + x^2)$ (4)
che, per $| x | < 1$, dà subito
$1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... + (-1)^n x^(2n)+...$.
Da qui si ricava la (2) per integrazione.[/size]
b) Come è spiegato nella pagina PNG più sotto, lo sviluppo in serie di Fourier di $arctan[sin(x)]$ risulta del tipo
$S_1 sin(x) + S_3 sin(3x) + S_5 sin(5z) + S_7 sin(7x) + ... + S_(2n+1) sin[(2n+1)x] +...$
dove, per ogni $n$ naturale,
$S_(2n+1) = 2/(2n+1)(sqrt2 - 1)^(2n+1)$.
[size=90]NB. La spiegazione contenuta nella pagina PNG più sotto passa per il campo complesso dove
1) fa uso dello sviluppo in serie di potenze di $1/2ln((1+z)/(1-z))$
$1/2ln((1+z)/(1-z)) = z + z^3/3 + z^5/5 + z^7/3 + ...+ z^(2n+1)/(2n+1) + ...$ valido per $|z| < 1$
facilmente ricavabile per integrazione dalle uguaglianze [per $|z| < 1$]:
$1/2(1/(1 + z) + 1/(1 - z)) = 1/(1 - z^2) = 1 + z^2 + z^4 + z^6 + ... +z^(2n) + ... $;
2) fa uso dell'identità
$arctan(x) = 1/(2j)ln((1+jx)/(1 - jx))$ (con j unità immaginaria)
ottenibile per integrazione della (4) osservando che nel campo complesso valgono le identità
$1/(1 + x^2) = 1/2(1/(1+jx) + 1/(1 - jx)) =1/(2j)(j/(1+jx) - (-j)/(1 - jx)) $.[/size]
––> Sviluppo in serie di Fourier di f(x) = arctan[sin(x)
––> http://s29.postimg.org/4cizpgk87/arctan_sin_x.png
–––
Le domande erano due.
a) A quale funzione – diciamola $f(x)$ – tende la serie
$ sin(x)-(sin^3(x))/3 +(sin^5(x))/5-(sin^7(x))/7+ ... +(-1)^n(sin^(2n+1)(x))/(2n+1)+...$ ? (1)
b) Qual è lo sviluppo in serie di Fourier della funzione $f(x)$ [alla quale tende la serie in (1) ] ?
Risposte
a) La risposta alla prima domanda è molto facile. Basta ricordare che, per $| t |≤ 1$, si ha
$arctan(t) = t - t^3/3 + t^5/5 - t^7/7 + ... + (-1)^n t^(2n+1)/(2n+1) + ... $ (2) (*)
ed osservare che per ogni $x$ reale $|sin(x)| ≤ 1$ per concludere che
$f(x) = arctan[sin(x)]$. (3)
[size=90](*) Siccome la funzione $x = tan(y)$ è monòtona crescente nell'intervallo aperto $-π/2 < y < π/2$ e la sua derivata è
$d/(dy)tan(y) = 1/(cos^2(y)) = 1 + tan^2(y)$,
la derivata della funzione inversa $y=arctan(x)$ è
$d/(dx)arctan(x) =1/(1 + x^2)$ (4)
che, per $| x | < 1$, dà subito
$1/(1 + x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... + (-1)^n x^(2n)+...$.
Da qui si ricava la (2) per integrazione.[/size]
b) Come è spiegato nella pagina PNG più sotto, lo sviluppo in serie di Fourier di $arctan[sin(x)]$ risulta del tipo
$S_1 sin(x) + S_3 sin(3x) + S_5 sin(5z) + S_7 sin(7x) + ... + S_(2n+1) sin[(2n+1)x] +...$
dove, per ogni $n$ naturale,
$S_(2n+1) = 2/(2n+1)(sqrt2 - 1)^(2n+1)$.
[size=90]NB. La spiegazione contenuta nella pagina PNG più sotto passa per il campo complesso dove
1) fa uso dello sviluppo in serie di potenze di $1/2ln((1+z)/(1-z))$
$1/2ln((1+z)/(1-z)) = z + z^3/3 + z^5/5 + z^7/3 + ...+ z^(2n+1)/(2n+1) + ...$ valido per $|z| < 1$
facilmente ricavabile per integrazione dalle uguaglianze [per $|z| < 1$]:
$1/2(1/(1 + z) + 1/(1 - z)) = 1/(1 - z^2) = 1 + z^2 + z^4 + z^6 + ... +z^(2n) + ... $;
2) fa uso dell'identità
$arctan(x) = 1/(2j)ln((1+jx)/(1 - jx))$ (con j unità immaginaria)
ottenibile per integrazione della (4) osservando che nel campo complesso valgono le identità
$1/(1 + x^2) = 1/2(1/(1+jx) + 1/(1 - jx)) =1/(2j)(j/(1+jx) - (-j)/(1 - jx)) $.[/size]
––> Sviluppo in serie di Fourier di f(x) = arctan[sin(x)
––> http://s29.postimg.org/4cizpgk87/arctan_sin_x.png
–––
Strano che proprio nessuno abbia qualche commento da fare!
Insomma, stabilito che lo sviluppo in serie di fourier di $arctan[sin(x)]$ è del tipo
$S_1sin(x) + S_3sin(3x) + S_5sin(5x) + ... +S_(2n+1)Sin[(2n+1)x]+...$
ho trovato che, per ogni $n$ naturale, risulta
$S_(2n+1) = 2/(2n+1)(sqrt2 - 1)^(2n+1)$
seguendo tutt'altra via da quella consueta (basata sulla "ortogonalità" delle funzioni circolari) che conduce a
$S_(2n+1) =4/π\int_0^{\pi/2}\arctan[sin(x)]·sin[(2n+1)x]·dx$.
Questo integrale ... è abbastanza scorbutico da fare direttamente!
C'è qualcuno tra i visitatori che sa come farlo ... o almeno ci prova?
______
Insomma, stabilito che lo sviluppo in serie di fourier di $arctan[sin(x)]$ è del tipo
$S_1sin(x) + S_3sin(3x) + S_5sin(5x) + ... +S_(2n+1)Sin[(2n+1)x]+...$
ho trovato che, per ogni $n$ naturale, risulta
$S_(2n+1) = 2/(2n+1)(sqrt2 - 1)^(2n+1)$
seguendo tutt'altra via da quella consueta (basata sulla "ortogonalità" delle funzioni circolari) che conduce a
$S_(2n+1) =4/π\int_0^{\pi/2}\arctan[sin(x)]·sin[(2n+1)x]·dx$.
Questo integrale ... è abbastanza scorbutico da fare direttamente!
C'è qualcuno tra i visitatori che sa come farlo ... o almeno ci prova?
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