Una serie per i primi

[dan952]

Sia $\text{Re}(s)>1$. Dimostrare che

$\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\omega(n)}{n^s}=\sum_{p\ \text{prime}}\frac{1}{p^s}$

Dove $\omega(n)$ conta i divisori primi di $n$.

Hint:

Usare una proprietà delle serie di Dirichlet

P.s. l'identità è farina del mio sacco.

[Dobrogost]

Giusto per chiarire, $\omega (8) = 3$ o $1$? Credo la seconda, ma sai mai..

Comunque io non ho tirato in ballo Dirichlet, quindi non so se va bene:

Il numeratore al LHS si scrive come:

$\sum_{n=1}^{\infty} frac{\omega(n)}{n^{s}} =$
$ frac{1}{1^s}+frac{1}{2^s}+frac{1}{3^s}+frac{1}{4^s}+ frac{1}{5^s}+ frac{2}{6^s}+ ... = frac{1}{1^s}+frac{1}{2^s}+frac{1}{3^s}+frac{1}{4^s}+ frac{1}{5^s}+ frac{1}{6^s}+frac{1}{6^s}+ ... = $

Raccogliendo:
$= ( \sum_{primi} ) + frac{1}{2^s} ( \sum_{primi} ) + frac{1}{3^s} ( \sum_{primi} ) + frac{1}{4^s} ( \sum_{primi} ) + ... $

Da cui la tesi (posso dire tutta sta roba fregandomene della convergenza? Mai guardata teoria dei numeri .-.)

[dan952]

1

[Dobrogost]

Editato con il mio abbozzo di soluzione

[dan952]

Sì può andare io avevo usato l'inversione di Möbius e una proprietà delle D-S

[dissonance]

@Dobrogost: mi piace questa soluzione. Quanto alla convergenza, finché manipoli serie assolutamente convergenti puoi riordinare come ti pare (o "fregartene" come dici tu ). Tutte le serie che appaiono qui sono assolutamente convergenti grazie alla condizione \(\Re (s) >1\).