Una relazione tra integrali

[Sk_Anonymous]

Sia $f:[0,1]->mathbb{R}$ una funzione integrabile tale che $int_0^1xf(x)dx=0$
Provare che :
$int_0^1f^2(x)dx >=4(int_0^1f(x)dx)^2$

[Rigel1]

Nello spazio di Hilbert \(L^2(0,1)\) consideriamo il sistema ortonormale completo \((e_k)\) ottenuto a partire dalle funzioni \(v_k(x) := x^k\), \(k\geq 0\). In particolare \(e_0(x) = 1\), \(e_1(x) = -2\sqrt{3} x + \sqrt{3}\).
Dalla disuguaglianza di Bessel, e usando l'ipotesi \(\int_0^1 x f(x) dx = 0\), abbiamo che
\[
\|f\|^2 \geq \langle f, e_0\rangle^2 + \langle f, e_1\rangle^2 =
\left(\int_0^1 f\right)^2 + \left[\int_0^1 f(x) (-2\sqrt{3} x + \sqrt{3})dx\right]^2
= \left(\int_0^1 f\right)^2 + 3 \left(\int_0^1 f\right)^2
\]
da cui la tesi.
In questo modo è anche facile vedere per quali funzioni vale l'uguaglianza.

[totissimus]

Applicado la disuguaglianza di Schwartz:
\(\displaystyle \left|\int_{0}^{1}f(x)dx\right|=\left|\int_{0}^{1}f(x)\left(1-\frac{3}{2}x\right)dx\right|\leq\sqrt{\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx}\sqrt{\int_{0}^{1}\left(1-\frac{3}{2}x\right)^{2}dx}\)

\(\displaystyle =\sqrt{\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx}\frac{1}{2} \displaystyle \)
da cui la tesi.

[Sk_Anonymous]

@totissimus
Ci si vede di nuovo, ottima soluzione !

@Rigel
Non si legge bene la risposta, che appare un po' tagliata ( di sicuro colpa del mio computer...). Vado sulla fiducia, tanto più che mi sembra una soluzione assai elegante...

Di mio posso dire che avevo provato a porre :
$int_0^1f(x)dx=int_0^1(1-ax+ax)f(x)dx=int_0^1(1-ax)f(x)dx+a int_0^1xf(x)dx =int_0^1(1-ax)f(x)dx$
Di poi ho posto :
$int_0^1(1-ax)^2dx=1/4$, ricavandone $a=$3/2 ...