Una questione di convergenza

[gugo82]

La domanda è la seguente.
Se ho una successione di $L^p([a,b])$ e so che:

1) essa converge q.o. (o converge in misura) in $[a,b]$ e

2) le $L^p$-norme degli elementi della successione convergono alla $L^p$-norma del limite puntuale q.o. (che è finita),

allora posso dire che la mia successione converge in $L^p([a,b])$ al limite puntuale q.o.?
(Se vale solo la 1) la cosa è falsa e si può vedere con un semplice controesempio.*)

***

Questo dubbio viene da una dimostrazione semplice che non riesco a concludere.
La descrivo in spoiler, così da non occupare molto spazio e da renderla accessibile a chi è interessato.

Devo dimostrare che, con $1
Fisso $u\in L^p(Omega)$ e chiamo $(u_n)$ una successione di funzioni di classe $L^p(Omega)$ tale che $u_n \to u " in "L^p$: il mio intento è quello di provare che $u_n^** to u^** " in " L^p$ (ovviamente in $L^p([0,M])$).
Visto che $m(Omega)$ è finita, si ha $L^p(Omega) \subset L^1(Omega)$ con immersione continua (infatti per Hölder trovo $||u||_1<=||u||_p*m^((p-1)/p)(Omega)$), è evidente che $(u_n)\subseteq L^1(Omega)$, $u\in L^1(Omega)$ e $u_n \to u " in " L^1$; visto che in precedenza ho acquisito che $**$ non aumenta la distanza $L^1$, nel senso che risulta:

$||f^**-g^**||_1<=||f-g||_1 \quad$ per $f,g in L^1(Omega)$,

trovo che $(u_n^**)\subseteq L^1([0,M]), u^** \in L^1([0,M])$ e $u_n^**\to u^** " in " L^1$.
Per un noto fatto, riesco ad estrarre da $(u_n^**)$ una successione $(u_(k_n)^**)$ tale che $u_(k_n)^** \to u^** " q.o. in " [0,M]$; inoltre, avendo in precedenza dimostrato che:

$||f^**||_p=||f||_p \quad$ per $f \in L^p(Omega)$,

sfruttando la continuità della norma ho pure $||u_(k_n)^**||_p=||u_(k_n)||_p\to ||u||_p=||u^**||_p$.

Ora mi si dice che da $u_(k_n)^** \to u^** " q.o. in " [0,M]$ e da $||u_(k_n)^**||_p\to ||u^**||_p$ segue $u_(k_n)^**\to u^** " in " L^p$... Il problema è che non riesco a vederlo.
Per concludere, poi, mi si fa notare che il limite $u^**$ non dipende dalla particolare sottosuccessione $(u_(k_n)^**)$ allora $u_n^**\to u^** " in " L^p$.

__________
* La successione di termine generale:

$u_n(x):=\{(0, ", se " 1/n
converge q.o. alla funzione nulla $u(x):=0$; però la convergenza non è nel senso di alcun $L^p$ con $1 Poiché $u_n=u_n-u$ e quindi $||u_n||_p=n^(1-1/p)\to +oo !=0 =||u||_p$, si vede che in questo caso non è verificata la 2).

[Thomas16]

Usando Egorov arrivi a dire che sei a posto se linsieme di funzioni risulta uniformemente integrabile...

prova a vedere se c'è qualche condizione di uniforme integrabilità che fa al caso tuo... chissà magari funziona

[dissonance]

@thomas: questo risultato io lo conosco col nome di teorema di Vitali:
una successione ${f_n}_{n=1}^infty$ di funzioni equintegrabili che converge q.o. converge pure in norma $L^1$.
Ci stavo pensando stamattina. Ma da dove salta fuori l'equiintegrabilità? Dalla convergenza di $||f_n||_p$?

[gugo82]

Infatti, avevo pernsato al teorema di Vitali (per me quello di Egorov è quello sull'equivalenza tra convergenza q.o. e q.u. sugli insiemi di misura finita) però non capisco da dove recuperare l'equiintegrabilità; pur facendo un po' di conti non ci riesco.
Forse sbaglio impostazione, mah...

A proposito, dove li recupero i criteri di equiintegrabilità?
E, più in generale, conoscete qualche buon libro di Teoria delle Funzioni (insomma qualche testo sui vari tipi di convergenza per funzioni misurabili)?

[Thomas16]

non ricordavo il teorema di Vitali, è un anno e mezzo che non vedo più cose di analisi funzionale.... comunque è evidente (credo )che Egorov=>Vitali .... (per me egorov è il teorema che cita gugo82)

mi sono ricordato che anni fa avevo già visto un risultato simile... ovvero "Scheffè's" theorem... che è il tuo caso con $p=1$

ti mando il link per la dimostrazione:

http://dida.sns.it/dida2/cl/05-06/folde1/pdf5

per provare ad estenderlo con p diversi si potrebbe provare a vedere se vale:

$|a-b|^p<=|a^p-b^p|$

che intuitivamente direi che è vera per convessità.... (ma magari no.... vedete)... e poi cercare di ripercorrere la dimostrazione...

[Thomas16]

ma sei soddisfatto gugo82?

provato a generalizzare con p generico? è uscito fuori qualcosa?

[gugo82]

Ti ringrazio per la segnalazione, Thomas, ma ancora non ho fatto i conti.
Ho preferito lasciar passare una giornata trascrivendo appunti (e smaltendo la delusione per l'ennesima sconfitta del Napoli ), così da riprendere tutto domani.

Ad ogni modo, la disuguaglianza $|a-b|^p<= |a^p-b^p|$ è verificata certamente per $a,b>=0$; ovviamente se prendo le variabili in valore assoluto ottengo una disuguaglianza vera per ogni $a,b \in RR$.

Grazie mille, quando ho qualche novità vi aggiorno.

[gugo82]

Risolto, ed in modo più semplice del previsto.

Basta applicare la seguente generalizzazione $L^p$ (che non conoscevo) del Teorema della Convergenza Dominata:

Siano $X$ uno spazio di misura, $1<=p<+oo$, $(f_n),(g_n) \subset L^p(X)$ ed $f,g \in L^p(X)$.

Se:

1) $\quad " q.o. in " X " risulta " \{(f_n\to f),(g_n\to g),(0<=|f_n|<=g_n) :} \quad$,
2) $\quad lim_n ||g_n||_p =||g||_p \quad$,

allora $\lim_n \int_X |f_n-f|^p=0$ e $\lim_n \int_X |f_n|^p " d"mu =\int_X |f|^p " d"mu$.
In altre parole le ipotesi 1-2) garantiscono che il limite puntuale q.o. di $(f_n)$ è pure il limite di $(f_n)$ nel senso di $L^p$.

Nel mio caso devo prendere $f_n:=u_(k_n)^**$, $f:=u^**$, $g_n:=|u_(k_n)^**|$ e $g:=|u^**|$.

Noto, per inciso, che la 2) è un'ipotesi di passaggio al limite sotto il segno d'integrale "mascherata", giacché si può scrivere $lim_n \int_X g_n^p " d"mu=\int_X g^p " d"mu$.
Quindi, se è possibile passare al limite sotto il segno d'integrale per le potenze $p$-esime delle funzioni maggioranti $(g_n)$, allora non solo è possibile farlo anche per le potenze $p$-esime delle funzioni di partenza $(f_n)$ ma addirittura il teorema ci garantisce che la convergenza q.o. di $(f_n)$ è in realtà una convergenza $L^p$ (verso lo stesso limite).

Per chi fosse interessato alla dimostrazione, suggerisco la strada: si verifichi che è possibile applicare il lemma di Fatou alla successione $2^(p-1)*[g_n^p+g^p]-|f_n-f|^p$ (serve un po' di convessità) e si proceda come nella dimostrazione del teorema di Convergenza Dominata classico.

Ho escluso il caso $p=+oo$ perchè non mi serviva, però non so dire se la cosa valga pure in questo caso; dovrei fare un po' di conti.

[Thomas16]

potente questo teorema!!!!!!!!!! dove l'hai trovato? ...........

ho provato a vederlo per n=1 (pigrizia) e sembra tornare.... per una disuguaglianza si usa la tua successione di funzioni, mentre per l'altra si può usare direttamente $|f_n-f|$ che è già positiva...

la dimo di scheffè è più brillante ma meno efficiente!

grazie di avermi mostrato le fine della storia!

[gugo82]

Veramente ho trovato il caso $p=1$ lasciato come esercizio su vari testi (ora non ricordo bene quali, forse Royden e Zygmund), poi l'ho risolto e l'ho adattato per $p$ qualunque.

La mia dimostrazione è la seguente: la riporto, così magari mi dite se c'è qualche errore.

Dim.: Nelle ipotesi si ha $|f|<=g$ (confronto) e quindi $|f_n-f|^p<=(|f_n|+|f|)^p<=2^(p-1)*[|f_n|^p+|f|^p]<=2^(p-1)*[g_n^p+g^p]$ (monotonia e convessità di $t^p$ in $[0,+oo[$); alla successione di termine generale $2^(p-1)*[g_n^p+g^p]-|f_n-f|^p>=0$ si applica Fatou, di modo che:

$\int_X "minlim "(2^(p-1)*[g_n^p+g^p]-|f_n-f|^p) " d"mu <= "minlim " \int_X \{ 2^(p-1)*[g_n^p+g^p]-|f_n-f|^p\} " d"mu \quad =>$

$\quad => \quad \int_X "minlim "(2^(p-1)*[g_n^p+g^p]-|f_n-f|^p) " d"mu <=2^(p-1)*["minlim " \int_X g_n^p " d"mu +\int_X g^p " d"mu]-"maxlim " \int_X |f_n-f|^p " d"mu\quad$;

visto che $"minlim " 2^(p-1)*[g_n^p+g^p]-|f_n-f|^p = 2^p g^p " q.o."$ e $"minlim " \int_X g_n^p " d"mu=lim \int_X g_n^p " d"mu=\int_Xg^p" d"mu$ (per la 2), la precedente diventa:

$\int_X 2^p g^p " d"mu<= 2^p \int_Xg^p" d"mu -"maxlim "\int_X |f_n-f|^p" d"mu \quad =>\quad 0<="maxlim " \int_X |f_n-f|^p" d"mu<=0$

da cui $lim \int_X |f_n-f|^p" d"mu =0$, ossia convergenza $L^p$. La possibilità di passare al limite sotto integrale consegue dalla continuità della norma.