Una proprietà di $f\in C^{\infty}([0,1],\mathbb R)$

[Paolo902]

Secondo me, è qualcosa di veramente bello, è uno di quei risultati molto belli e inaspettati, che ti lasciano a prima vista un po' spiazzato. D'altra parte ritengo anche che non sia un quesito proprio banale, ci abbiamo messo una settimana e mezza (in tre!) a risolverlo ( ). Ma ne è valsa la pena.

Teorema. Sia [tex]f \in C^{\infty}([0,1], \mathbb R)[/tex]. Allora o $f$ è un polinomio o esiste un $x_0 \in [0,1]$ tale che
\[
\forall n \in \mathbb N: \quad f^{(n)}(x_0) \ne 0,
\]
dove ovviamente $f^{(n)}(x_0)$ denota la derivata $n-$esima di $f$ calcolata in $x_0$.

Buon divertimento

[Rigel1]

E' già stato postato tempo fa (da gugo se non ricordo male; forse lui si ricorda dove si trova...).

[Seneca1]

Incredibile, sì! Supporre che: $\forall x \in [0,1]$, $\exists n \in NN$ tale che $f^(n)(x) = 0$, ed $f \in C^(oo)$, ti basta per dedurre che la funzione $f$ è un polinomio...

Comunque, benché la cosa mi affascini, non penso mi cimenterò nella dimostrazione...

[gugo82]

"Rigel":E' già stato postato tempo fa (da gugo se non ricordo male; forse lui si ricorda dove si trova...).

Esattamente qui.

[Paolo902]

Mannaggia, avevo cercato bene prima di postare, ma non avevo trovato niente. Mi scuso, non volevo creare un doppione.
A questo punto, però, per farmi perdonare , riporto la soluzione che abbiamo trovato, nella speranza che sia giusta (mi pare infatti sia diversa e più "corta" rispetto a quella di Rigel nell'altro thread).

Dunque, consideriamo una funzione [tex]f \in C^{\infty}([0,1], \mathbb R)[/tex] che non sia una funzione polinomiale. Ora, l'idea è quella di andare a rimuovere da [tex][0,1][/tex] i pezzi abbastanza grandi su cui [tex]f[/tex] è un polinomio. Formalmente, chiamiamo [tex]G:=\{x_0 \in [0,1]: \exists \delta > 0, \, f\mid_{(x_0-\delta, x_0+\delta)} \text{e' un polinomio}\}[/tex]. Poiché [tex]G[/tex] è chiaramente aperto, [tex]M:=[0,1]\setminus G[/tex] è chiuso; inoltre, [tex]M[/tex] è ovviamente non vuoto per l'ipotesi che [tex]f[/tex] non sia un polinomio. Ne segue che [tex]M[/tex] è metrico completo.

Adesso dovrebbe essere semplice concludere: posto [tex]M_k:=\{x \in M: f^{(k)}(x)=0\}[/tex], se provo che [tex]M \ne \bigcup_{k \in \mathbb N} M_k[/tex] allora ho finito (c'è un punto di [tex]M[/tex] che non sta nell'unione degli [tex]M_k[/tex], quindi...). Se, per assurdo, [tex]M=\bigcup_{k \in \mathbb N} M_k[/tex] allora, per Baire (visto che gli [tex]M_k[/tex] sono tutti chiusi), esiste un [tex]\overline{K}\in \mathbb N[/tex] t.c. [tex]M_{\overline{K}}[/tex] ha interno non vuoto: su [tex]\text{Int}M_{\overline{K}}[/tex] la nostra [tex]f[/tex] è dunque un polinomio e quindi [tex]\text{Int}M_{\overline{K}} \subset G[/tex], che è assurdo.

Che ve ne pare?

[Rigel1]

@Paolo:
Dopo il primo passo ottieni un insieme \(M\) chiuso e non vuoto (e su questo siamo d'accordo).
L'applicazione del lemma di Baire ti dice che esiste un \(M_k\) che ha interno non vuoto nella topologia indotta da \(M\); questo non significa che debba esistere tutto un intervallo aperto della retta reale contenuto in \(M\).

Per capirci, supponi che l'insieme \(M\) ottenuto dopo il primo passo sia una bella polvere di Cantor (che è un insieme perfetto).
In nessun modo puoi trovare un intervallo aperto non vuoto in esso contenuto.

[Paolo902]

Nooooo, mannaggia, ci era sfuggito!

Grazie per l'intervento, Rigel; vedi un modo per salvare la dimostrazione o è proprio senza speranza? Sembrava bella e giusta...
Grazie ancora.

[Seneca1]

Cattiva polvere di Cantor... Cattiva!

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