Una noticina sulla funzione Gamma (non è la solita minestra)

caos81
Tutti (spero) conoscono la "famigerata" funzione Gamma di Eulero.

\(\displaystyle n!=\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{n}\rm{d}t} \)

Mi ricordo che, all'università, durante il corso di Analisi Superiore, un mio compagno chiese al prof. "Scusi prof. ma come ci si arriva a quell'integrale, partendo dalla definizione di fattoriale?"
Risultato: GELO TOTALE NELL'AULA!!! (è pur vero che era un Corso di laurea in Biotecnologie, quindi non è che ci si poteva aspettare chissà che, almeno per quanto riguarda l'approfondimento sugli argomenti di Analisi) però al liceo la mia prof. mi aveva sempre insegnato che dare una formula senza dimostrarla è "un comportamento poco corretto". E' un pò come se, in un duello, uno dei due duellanti colpisse l'altro alla schiena (non so se mi spiego). Approfitto quindi di questa sezione, che si intitola (non a caso) "Pensare un pò di più" per proporvi un collegamento tra fattoriale e l'integrale proposto sopra.
Il ragionamento che fece Eulero in passato in realtà, permette di arrivare al prodotto infinito

\(\displaystyle n!=\prod_{k=1}^{\infty}{\left[\left(\frac{k+1}{k}\right)^n\left(\frac{k}{n+k}\right)\right]} \)

Eulero poi, con una serie di passaggi (devo dire molto affascinanti, anche se poco rigorosi, però considerando l'epoca...) arriva, attraverso l'integrale

\(\displaystyle \int{\ln(t)\rm{d}t}=t\ln(t)-t+C \)

a capire che l'integrale logaritmico, è proprio la funzione da lui cercata, ossia quella funzione (che lui chiamò $\Gamma$) tale che

\(\displaystyle \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \)

un modo alternativo è quello di mettere in evidenza il collegamento che c'è tra potenze $t^{n}$, esponenziale $e^{-t}$ (all'interno dell'integrale della $\Gamma$) e il fattoriale (che compare proprio nella serie esponenziale, come vedremo).

Ad esempio, se partiamo dalla serie geometrica

\(\displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+...=\frac{1}{1-x} \)

e moltiplichiamo il secondo membro per \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-t}\rm{d}t} \) che è uguale a $1$ otteniamo (scrivo solo il II membro, per ora)

\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{1-x}e^{-t}\rm{d}t}= \)

e sostituendo la variabile (\(\displaystyle \frac{1}{1-x}dt=dy \)) si ottiene

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=\int_{0}^{\infty}{e^{-y(1-x)}dy}=\int_{0}^{\infty}{e^{-y}e^{xy}dy} \)

sviluppando il serie $e^{xy}$ otteniamo

\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-y(1-x)}dy}=\int_{0}^{\infty}{e^{-y}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(xy)^k}{k!}}dy} \)

quindi, ricordando che l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali otteniamo

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{x^k}{k!}}\int_{0}^{\infty}{e^{-y}y^k\rm{d}y} \)

e la serie di partenza può scriversi come

\(\displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+...\infty=1\int_{0}^{\infty}{e^{-y}dy}+x\int_{0}^{\infty}{ye^{-y}dy}+\frac{x^2}{2!}\int_{0}^{\infty}{y^2e^{-y}dy}+\frac{x^3}{3!}\int_{0}^{\infty}{y^3e^{-y}dy}+... \)

ora, se guardiamo con attenzione notiamo che, affinchè il secondo membro venga uguale al primo membro (cioè ad una serie geometrica) è SUFFICIENTE (attenzione, SOLO SUFFICIENTE ma non necessario, infatti questo non dimostra l'unicità della funzione $\Gamma$) che sia, per ogni $n\in\mathbb{N}$

\(\displaystyle n!=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{n}dt} \)

Infatti nell' ultima serie a II membro, si possono semplificare ciascuno dei fattoriali a denominatore con gli integrali a numeratore ottenendo appunto, la serie geometrica a I membro.

:D

Questo metodo mette in evidenza il collegamento tra (potenze e serie geometrica, funzione esponenziale e fattoriale). Poichè la serie esponenziale è la più semplice da trattare (anche perchè di $e^x$ si conoscono vita, morte e miracoli) tra quelle contenenti il fattoriale, diventa secondo me molto più intuitivo ricavare il fattoriale dalla serie esponenziale.

Risposte
Sk_Anonymous
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gugo82
@ caos81:
"caos81":
Mi ricordo che, all'università, durante il corso di Analisi Superiore, un mio compagno chiese al prof. "Scusi prof. ma come ci si arriva a quell'integrale, partendo dalla definizione di fattoriale?"
Risultato: GELO TOTALE NELL'AULA!!! (è pur vero che era un Corso di laurea in Biotecnologie, quindi non è che ci si poteva aspettare chissà che, almeno per quanto riguarda l'approfondimento sugli argomenti di Analisi) però al liceo la mia prof. mi aveva sempre insegnato che dare una formula senza dimostrarla è "un comportamento poco corretto".

Beh, ti interesserà sapere che a quell'integrale non ci si arriva in alcun modo sensato usando la sola definizione di fattoriale.
Gli stessi modi che proponi (e che credo siano molto più vecchi di te) sono fallaci: infatti, integrando su intervalli non compatti (tipo $[0,\infty[$), non è in generale vero che:
"caos81":
l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali

e d'altra parte, per giustificare i passaggi di Eulero, bisogna prima provare che la \(\Gamma (z)\) definita mediante l'integrale gode di "buone proprietà".

Comunque, ciò è nella natura delle cose.
Infatti, è stato dimostrato con vari esempi (cfr. Hadamard, Sur L’Expression Du Produit \(1\cdot 2\cdot 3\cdots (n−1)\) Par Une Fonction Entière del 1894) che lo stesso concetto di "prolungamento naturale" del fattoriale è innaturale, nel senso che non esiste un'unica funzione analitica che estenda la funzione fattoriale definita sugli interi positivi al semipiano complesso \(\operatorname{Re} z>0\) o all'intero piano.

Il prolungamento ottenuto mediante la funzione \(\Gamma (\cdot +1)\) diventa l'unico prolungamento possibile sulla semiretta reale positiva solo se si aggiunge una condizione geometrica, i.e. che il prolungamento cercato sia \(\log\)-convesso: infatti il teorema di Bohr-Mollerup assicura che esiste un'unica funzione \(f:]0,\infty[\to ]0,\infty[\) tale che:
\[
\begin{cases}
f(1)=1\\
f(x+1)=x\ f(x) &\text{, per } x>0\\
f \text{ è log-convessa}
\end{cases}
\]
e tale funzione è proprio la \(\Gamma\).

Ricapitolando, gli argomenti qui proposti sono buoni a livello euistico, ma non servono a derivare l'espressione della \(\Gamma\) dalla definizione di fattoriale.
D'altro canto, dalla definizione della \(\Gamma\) non ci vuole nulla a ricavare la nota formula \(n!=\Gamma (n+1)\) (integrazione per parti e induzione bastano), la quale mostra che \(\Gamma (\cdot+1)\) è un prolungamento del fattoriale.

caos81
"gugo82":
@ caos81:
Beh, ti interesserà sapere che a quell'integrale non ci si arriva in alcun modo sensato usando la sola definizione di fattoriale.
Gli stessi modi che proponi (e che credo siano molto più vecchi di te) sono fallaci: infatti, integrando su intervalli non compatti (tipo $[0,\infty[$), non è in generale vero che per giustificare i passaggi di Eulero, bisogna prima provare che la \(\Gamma (z)\) definita mediante l'integrale gode di "buone proprietà".

Comunque, ciò è nella natura delle cose.
Infatti, è stato dimostrato con vari esempi (cfr. Hadamard, Sur L’Expression Du Produit \(1\cdot 2\cdot 3\cdots (n−1)\) Par Une Fonction Entière del 1894) che lo stesso concetto di "prolungamento naturale" del fattoriale è innaturale, nel senso che non esiste un'unica funzione analitica che estenda la funzione fattoriale definita sugli interi positivi al semipiano complesso \(\operatorname{Re} z>0\) o all'intero piano.

Il prolungamento ottenuto mediante la funzione \(\Gamma (\cdot +1)\) diventa l'unico prolungamento possibile sulla semiretta reale positiva solo se si aggiunge una condizione geometrica, i.e. che il prolungamento cercato sia \(\log\)-convesso: infatti il teorema di Bohr-Mollerup assicura che esiste un'unica funzione \(f:]0,\infty[\to ]0,\infty[\) tale che:
\[
\begin{cases}
f(1)=1\\
f(x+1)=x\ f(x) &\text{, per } x>0\\
f \text{ è log-convessa}
\end{cases}
\]
e tale funzione è proprio la \(\Gamma (\cdot +1)\).

Ricapitolando, gli argomenti proposti sono buoni a livello euistico, ma non servono a derivare l'espressione della \(\Gamma\) dalla definizione di fattoriale.
D'altro canto, dalla definizione della \(\Gamma\) non ci vuole nulla a ricavare la nota formula \(n!=\Gamma (n+1)\) (integrazione per parti e induzione bastano), la quale mostra che \(\Gamma (\cdot+1)\) è un prolungamento del fattoriale.


Innanzitutto ti ringrazio molto per il tuo post (molto illuminante e, a giudicare dalle mie poche conoscenze) impeccabile sul piano logico. In effetti, come dimostra il teorema di Bohr-Mollerup, la funzione gamma di Eulero è univocamente determinata se e solo se $\log\Gamma(x)>0$ ossia se il suo logaritmo è una funzione convessa. E' vero anche che prolungare il fattoriale analiticamente è "innaturale" (infatti, se non ricordo male, agli inizi del '900 Poicaré ricavò una funzione pseudo-gamma diversa da quella di Eulero) ma sinceramente non ho mai approfondito molto la questione.

Cmq ho precisato che la mia non voleva essere una dimostrazione (nel senso stretto del termine) ma una "noticina". Era solo un esempio per mettere in evidenza il collegamento tra serie di potenze, esponenziale e fattoriale, specificando tra l'altro.

Grazie e a presto! :)

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