Una funzione liscia con derivate non negative è analitica

[Vincent46]

Si provi che ogni funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di classe $C^{\infty}$ avente tutte le derivate non negative in ogni suo punto è analitica.

(non ho soluzione)

Immagino sia sufficiente dimostrare che la serie di taylor di $f$ converge (uniformemente?) a $f$ in un intorno di ogni suo punto?

[Sk_Anonymous]

È un risultato (anche abbastanza strabiliante, a parer mio) dovuto a Bernstein; l'unico riferimento in italiano che conosco è l'eserciziario di De Marco-Mariconda, pag. 275, dove però non è dimostrato - è citato in relazione ad un esercizio, che avevo pure svolto anni fa proprio qui sul forum. Una dimostrazione si trova qui.

[Vincent46]

Uh, grazie! In effetti è un risultato che mi ha colpito. Comunque era un esercizio di un test d'ingresso in Normale (quarto anno).

[dan952]

@Delirium
Ho modificato il post di ieri avevo dimenticato \$\

@Vincent
Hai provato per assurdo? Supponiamo che esista $x_0 \in RR$ tale che $f(x)$ non è analitica in $x_0$ o equivalentemente che esiste $\varepsilon >0$ e $N \in NN$ tale che $|R_n|=abs{\frac{f^(n)(\xi)}{n!}(x-x_0)^n} \geq \varepsilon$ (resto di Lagrange), con $\xi \in (x-x_0,x+x_0)$, per ogni $n \geq N$.

[Vincent46]

Sì, ho provato a impostare un calcolo simile (in realtà basta che per ogni $N$ esista un $n > N$ tale che valga quella cosa che hai scritto tu, no?), però poi non sono pervenuto a nulla.

[dan952]

Prendiamo $x \in RR$ tale che $0

[Sk_Anonymous]

Una cosa che mi domandavo è che forma avessero funzioni di quel tipo, con tutte le derivate non negative. Cercando un po' in giro ho scoperto che le funzioni completamente monotone hanno tutte una rappresentazione. Chiaramente se \(f(x)\) è una funzione completamente monotona (o totalmente monotona), \(f(-x)\) è del tipo che ci interessa.