Una disuguaglianza
CIao a tutti!
Vi espongo un problema che ho incontrato studiando le misure di rischio in finanza.
Sia $\rho: \mathcal{L} \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ una funzione (la misura di rischio, ma non è necessario sapere a cosa serve per la comprensione del problema), che agisce su una variabile aleatoria $X \in \mathcal{L}$. Si ha che $\rho$ è subadditiva: $\rho(X+Y) \le \rho(X)+\rho(Y)$ e positivamente omogenea: $ \rho(\alpha X) = \alpha \rho(X)$ con $\alpha \ge 0$.
Da queste due proprietà ne discende che $\rho$ è un funzionale convesso, cioe preso $\lambda \in [0,1]$ si ha: $$ \rho(\lambda X+(1-\lambda)Y) \le \rho(\lambda X)+\rho((1-\lambda)Y)=\lambda \rho(X)+(1-\lambda) \rho(Y)$$
Ora, sia $h$ un numero reale positivo. Siano $x_1,x_2,...,x_n $ numeri reali positivi e tali che $\sum_{k=1}^nx_k=1$. Siano $R_1,R_2,...,R_n$ variabili aleatorie. Infine, sia $R_p=\sum_{k=1}^nx_kR_k$. Devo provare che vale:
$$\sum_{k=1}^n \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)} \ge \frac{\rho(R_P)}{h+\rho(R_P)}$$
Ho provato ad usare le proprietà di cui sopra per maggiorare il membro di destra ma non riesco ad uscirne... idee? secondo me non deve essere così difficile...
Vi espongo un problema che ho incontrato studiando le misure di rischio in finanza.
Sia $\rho: \mathcal{L} \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ una funzione (la misura di rischio, ma non è necessario sapere a cosa serve per la comprensione del problema), che agisce su una variabile aleatoria $X \in \mathcal{L}$. Si ha che $\rho$ è subadditiva: $\rho(X+Y) \le \rho(X)+\rho(Y)$ e positivamente omogenea: $ \rho(\alpha X) = \alpha \rho(X)$ con $\alpha \ge 0$.
Da queste due proprietà ne discende che $\rho$ è un funzionale convesso, cioe preso $\lambda \in [0,1]$ si ha: $$ \rho(\lambda X+(1-\lambda)Y) \le \rho(\lambda X)+\rho((1-\lambda)Y)=\lambda \rho(X)+(1-\lambda) \rho(Y)$$
Ora, sia $h$ un numero reale positivo. Siano $x_1,x_2,...,x_n $ numeri reali positivi e tali che $\sum_{k=1}^nx_k=1$. Siano $R_1,R_2,...,R_n$ variabili aleatorie. Infine, sia $R_p=\sum_{k=1}^nx_kR_k$. Devo provare che vale:
$$\sum_{k=1}^n \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)} \ge \frac{\rho(R_P)}{h+\rho(R_P)}$$
Ho provato ad usare le proprietà di cui sopra per maggiorare il membro di destra ma non riesco ad uscirne... idee? secondo me non deve essere così difficile...
Risposte
Sei sicuro che sia vera?
Forse sto sbagliando qualcosa io nell'interpretazione del problema, ma direi che la tua richiesta equivale a dimostrare che la funzione
\[
\varphi(X) := \frac{\rho(X)}{h + \rho(X)}
\]
è convessa.
Ma, anche solo prendendo \(\rho(t) = |t|\) con \(t\in\mathbb{R}\), vedi che questo non è vero.
Forse sto sbagliando qualcosa io nell'interpretazione del problema, ma direi che la tua richiesta equivale a dimostrare che la funzione
\[
\varphi(X) := \frac{\rho(X)}{h + \rho(X)}
\]
è convessa.
Ma, anche solo prendendo \(\rho(t) = |t|\) con \(t\in\mathbb{R}\), vedi che questo non è vero.
Penso che tu abbia ragione. In effetti, siccome:
$$\frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(x_k R_k)} \ge \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)} \quad \forall k$$
allora
$$\sum_{k=1}^n\frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(x_k R_k)} \ge \sum_{k=1}^n \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)} \quad $$
quindi considero
$$\sum_{k=1}^n\frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(x_k R_k)} \ge \frac{\rho (R_p)}{h+\rho(R_p)} \quad $$
che però non è vera in generale per il controesempio che hai dato tu. Quindi in generale non sarà vera nemmeno la disuguaglianza di partenza. Dovrei vedere se si può dire qualcosa di diverso con la misura di rischio che sto considerando (il value at risk, dove in particolare le $R_k$ sono distribuite normalmente). Vedrò! grazie per l'aiuto comunque!
$$\frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(x_k R_k)} \ge \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)} \quad \forall k$$
allora
$$\sum_{k=1}^n\frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(x_k R_k)} \ge \sum_{k=1}^n \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)} \quad $$
quindi considero
$$\sum_{k=1}^n\frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(x_k R_k)} \ge \frac{\rho (R_p)}{h+\rho(R_p)} \quad $$
che però non è vera in generale per il controesempio che hai dato tu. Quindi in generale non sarà vera nemmeno la disuguaglianza di partenza. Dovrei vedere se si può dire qualcosa di diverso con la misura di rischio che sto considerando (il value at risk, dove in particolare le $R_k$ sono distribuite normalmente). Vedrò! grazie per l'aiuto comunque!
Il controesempio dovrebbe valere direttamente sulla formulazione originaria:
In termini della \(\varphi\) definita prima, utilizzando il fatto che \(\rho\) è positivamente 1-omogenea si ha infatti che
\[
\sum_{k=1}^n \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)}
= \sum_{k=1}^n x_k\, \frac{\rho (R_k)}{h+\rho(R_k)}
= \sum_{k=1}^n x_k\, \varphi(R_k).
\]
Di conseguenza, la disuguaglianza riportata all'inizio corrisponde esattamente alla convessità di \(\varphi\).
"Covenant":
$$\sum_{k=1}^n \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)} \ge \frac{\rho(R_P)}{h+\rho(R_P)}$$
In termini della \(\varphi\) definita prima, utilizzando il fatto che \(\rho\) è positivamente 1-omogenea si ha infatti che
\[
\sum_{k=1}^n \frac{\rho (x_k R_k)}{h+\rho(R_k)}
= \sum_{k=1}^n x_k\, \frac{\rho (R_k)}{h+\rho(R_k)}
= \sum_{k=1}^n x_k\, \varphi(R_k).
\]
Di conseguenza, la disuguaglianza riportata all'inizio corrisponde esattamente alla convessità di \(\varphi\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo