Una continuità a saltelli

[Bremen000]

Propongo questo esercizio che ho trovato veramente difficile e di cui non possiedo una soluzione completa, almeno per il secondo punto:

Sia \( f: (0, + \infty) \to \mathbb{R} \) continua e tale che per ogni $x \in (0, +\infty)$ si ha

\[ \lim_{n \to \infty , n \in \mathbb{N}} f(nx) = 0 \]

Dimostrare che

(a) \( \lim_{x \to \infty} f(x)=0 \)

(b) Se si assume solo che per ogni $x \in (0, +\infty)$ si ha

\[ \lim_{n \to \infty , n \in \mathbb{N}} f(2^n x) = 0 \]

allora la conclusione (a) è falsa.

[Vincent46]

Parte (a):

Fissiamo un $\varepsilon > 0$; allora, per ogni $x$, si ha che $n \geq n(x) \implies f(nx) \leq \epsilon$. (Supponiamo di prendere come $n(x)$ il numero naturale più piccolo possibile). Definiamo
$$E_m = \{x \in [1, \infty) : n(x) = m \in \mathbb{N}\}.$$
Allora $[1, \infty)$ si scrive come unione numerabile degli $E_m$. Dunque, per il teorema di Baire, esiste un $\bar m$ che contiene un apertino, e quindi un insieme della forma $[a, b]$. Ora, esiste un certo $n_0$ tale che, per $n \geq n_0 \geq m$, si ha che
$$[na, nb] \cup [(n+1)a, (n+1)b] = [na, (n+1)b], $$
cioé due multipli successivi di $[a, b]$ non lasciano buchi in mezzo. Quindi ottengo che $f(x) \leq \varepsilon$ per ogni $x \in [n_0 a, \infty)$.
Edit: in realtà così non va bene perché dovrei dimostrare che gli $E_m$ sono chiusi, cosa che non riesco a fare senza supporre la continuità di $f$.

[Bremen000]

Vincent46 va benissimo perché non ho scritto che $f$ è continua, santo cielo! Correggo subito e bravissimo! Anche io ho usato Baire, ci sarà un modo per evitarlo? Sembra una cosa così terra terra...

[Vincent46]

"Bremen000":Vincent46 va benissimo perché non ho scritto che $ f $ è continua, santo cielo!

Ah ottimo, lo sospettavo ma non ne ero sicuro! Il fatto è che sappiamo quanto possano essere controintuitive le funzioni discontinue, quindi mi suonava strano che l'esercizio fosse vero anche senza quest'ipotesi Riguardo a strade alternative non saprei, perché esercizi del genere urlano Baire da tutte le parti!

Allora dimostrare la chiusura degli $E_m$ è semplice: si può usare la condizione equivalente di chiusura per successioni.

Punto (b): parto dalla funzione $f(x) = \frac{1}{x}$ e la modifico nel modo che ora vado a descrivere. Dividiamo $[1, +\infty)$ in intervallini della forma $(1, 2), (2, 4), ..., (2^k, 2^{k+1}), ...$.
Nel $k$-esimo intervallino scegliamo un punto $p_k$ e ridefiniamo $f(p_k) = 1$. Ora dobbiamo raccordare in maniera continua i due pezzi di $f$. Definiamo picco di raccordo $P_k$ come l'intorno di $p_k$ (contenuto interamente nel $k$-esimo intervallino) che contiene i valori di raccordo, ossia tale che i punti dove $f$ passa in maniera continua da $\frac{1}{x}$ a $1$ siano contenuti dentro $P_k$. Ora cancello negli intervallini più a destra tutti gli intervalli della forma $2^j P_k, j \geq 1$. Sono uno per ogni intervallo.
Nel $(k+1)$-esimo intervallino scelgo un punto $p_{k+1}$ che non appartenga all'insieme cancellato. Ridefinisco $f(p_{k+1}) =1$, costruisco il picco di raccordo $P_{k+1}$ e cancello le sue potenze di due dagli intervallini dopo, e così via. Nota bene che è sempre possibile scegliere un punto in questo modo.
Vale senz'altro che $f(2^nx) \to 0$, perché, a $x$ fissato, l'insieme $\{2^n x\}_{n \in \mathbb{N}}$ interseca al più uno solo dei picchi $P_i$, per costruzione.