Una base ortonormale per $L^2$

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Sia \( \{f_n \}_{n \ge 1} \subseteq L^2 ([0,1]) \) una famiglia ortonormale di funzioni a valori reali. Supponiamo che \[ \sum_{ n \ge 1} \left( \int_0^x f_n (t) \, dt \right)^2 = x \quad \forall \, x \in [0,1]. \]Mostrare che \( \overline{\text{span } \{ f_n \}}= L^2 ([0,1]) \).

[Bremen000]

L’uguaglianza scritta è l’identità [nota]Che in realtà è un teorema, non so perché la si chiami così[/nota] di Parseval per le indicatrici di $[0,x]$ al variare di \( x \in [0,1] \) rispetto alla famiglia ortonormale \( \{f_n\}_{n \ge 1} \) cioè

\[ \| \chi_{[0,x]} \|^2 = x = \sum_{ n \ge 1} \biggl ( \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle \biggr )^2 = \sum_{n \ge 1} \biggl ( \int_0^x f_n(t)dt \biggl ) ^2 \]

e questa uguaglianza vale se solo se \( \{ \chi_{[0,x]} \mid x \in [0,1] \} \subset \overline{\text{span } \{ f_n \}_{ n \ge 1}}\).

Dunque è sufficiente mostrare che \( \overline{\text{span } \{\chi_{[0,x]} \mid x \in [0,1] \}} = L^2([0,1]) \). Ma questo è immediato perché se \( \langle g , \chi_{[0,x]} \rangle = 0 \, \forall x \in [0,1] \) allora, per il teorema di differenziazione di Lebesgue, si ha \( g=0 \).

[Sk_Anonymous]

Si'. Senza Lebesgue si puo' usare il fatto che le funzioni a gradino sono dense nelle funzioni semplici che sono dense in \(L^2\).

[dissonance]

Per curiosità, questo esercizio era stato proposto da Gugo anni fa nella sezione "the English corner", se passa lui di qua sicuro saprà ripescare il link.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Per curiosità, questo esercizio era stato proposto da Gugo anni fa nella sezione "the English corner", se passa lui di qua sicuro saprà ripescare il link.

Qui

[Sk_Anonymous]

Penso sia carino ricordare come dall'identita' di Parseval discenda l'appartenenza delle \( \chi_{[0,x]} \) a \( \overline{ \text{span } \{ f_n \} } \): per \( N \in \mathbb{N} \) possiamo scrivere \[ \chi_{[0,x]} = \left( \chi_{[0,x]} - \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \right) + \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \]che in quanto decomposizione ortogonale fornisce \[ \|\chi_{[0,x]} \|_{L^2 ([0,1])} ^2 = \left\| \chi_{[0,x]} - \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \right\|_{L^2 ([0,1])} ^2 + \left\| \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \right\|_{L^2 ([0,1])} ^2 ; \]passando al limite per \( N \to \infty \) si ha la tesi, ricordando che \[ \|\chi_{[0,x]} \|_{L^2 ([0,1])} ^2 = \sum_{n \ge 1} | \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle |^2. \]

Edit. Aggiunti i pezzi mancanti segnalati da dissonance.

[dissonance]

Hai saltato dei fattori \(f_n\) nella prima formula.

Sarebbe carino vedere delle applicazioni concrete di questa roba. Per esempio, dimostrare che il sistema degli esponenziali \(e^{2\pi i n x}\) è completo; con questa formula, è facile?

[Bremen000]

@dissonance: mi interessa questa cosa. Prima ho provato a buttar giù due conti ma non ho ricavato nulla di utile.

[dissonance]

Se non altro, usando l'altra implicazione di questo risultato si vede che
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty \left\lvert\frac{ e^{2\pi i n x}- 1}{2\pi i n} \right\rvert^2 = x,
\]
il che non mi sembra affatto immediato da dimostrare.