Un prodotto di integrali

[caos81]

Nel calcolo del valore di questo prodotto di integrali ho avuto qualche difficoltà
$$
\left(\int_{0}^{\infty}{\frac{x}{e^x-i}\,{\rm d}x}\right)\cdot\left(\int_{0}^{\infty}{\frac{y}{e^y+i}\,{\rm d}y}\right)\qquad(i=\sqrt{-1})
$$
Qualcuno sa come si risolve per caso? Non conosco la soluzione esatta ma se l'occhio non m'ha ingannato dovrebbe venire un numero reale.

[caos81]

FINALMENTEEE!!!! Dopo una settimana di studio matto e disperatissimo (oltre a qualche calcoletto semplice...ma tutt'altro che banale, sono riuscito a esprimere esattamente...o quasi, sto dannatissimo prodotto di integrali!!!))

Allora dalla teoria sappiamo che
$$
Li_s(z)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}{\frac{t^{s-1}}{e^t/z-1}\,{\rm d}t}
$$

dove $Li_s(z)$ è il Polilogaritmo. Ora, il prodotto precedente può esprimersi come
$$
-i\Gamma(2)Li_2(i)\cdot i\Gamma(2)Li_2(-i)=Li_2(i)\cdot Li_2(-i)
$$

Ora, scrivendo il polilogaritmo come serie abbiamo che
$$
Li_2(i)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(i)^k}{k^2}}=i-\frac{1}{2^2}-\frac{i}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots
$$

separiamo i termini con la $i$ da quelli senza la $i$ e otteniamo
$$
Li_2(i)=-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{6^2}+\dots i-\frac{i}{3^2}+\frac{i}{5^2}-\dots
$$

metto in evidenza $-\frac{1}{2^2}$ nella prima serie e $i$ nella seconda e ottengo
$$
Li_2(i)=-\frac{1}{2^2}\cdot\left(1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\dots\right)+i\left(1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\dots\right)
$$

la prima serie, a meno della costante è il valore $\eta(2)$ della funzione $\eta(s)$ di Dirichelet mentre la seconda serie a meno della $i$ è la funzione $\beta(s)$ di Dirichelet calcolata nel punto $2$ quindi posso scrivere
$$
Li_2(i)=-2^{-s}\eta(2)+i\beta(2)
$$

ora, ripetendo lo stesso procedimento con $Li_2(-i)$ ottengo
$$
Li_2(-i)=-2^{-s}\eta(2)-i\beta(2)
$$

Quindi il prodotto $Li_2(i)\cdot Li_2(-i)$ può scriversi come
$$
\left[-2^{-s}\eta(2)+i\beta(2)\right]\cdot\left[-2^{-s}\eta(2)-i\beta(2)\right]=4^{-2}\eta^2(2)+\beta^2(2)=\frac{\pi^4}{2304}+G^2
$$

dove $G$ è la Costante di Catalan; quindi
$$
\left(\int_{0}^{\infty}{\frac{t}{e^t-i}\,{\rm d}t}\right)\cdot\left(\int_{0}^{\infty}{\frac{r}{e^r+i}\,{\rm d}r}\right)=\frac{\pi^4}{2304}+G^2\,.
$$

MALEDETTE SERIE DI DIRICHET. (maledettissime funzioni L....)