Un Limite per l'estate

[aizarg1]

Propongo il calcolo del seguente limite, tanto per distrarvi un pò sotto l'ombrellone: \(\mbox{ }\displaystyle \underset{n \rightarrow \infty}{lim} \frac{1}{n!}\int_0^n e^{-x}x^ndx\)

[theras]

Ciao,e Grazia(ops..grazie )per il quesito proposto!

A me pare di poter dire intanto come,per ricorsione,sia abbastanza agevole osservare che $inte^(-x)x^ndx=-e^(-x)sum_(k=0)^(k=n)D_(n,k)x^(n-k)+h$ $AAn inNNrArrint_0^n e^(-x)x^ndx=n!-e^(-n)sum_(k=0)^(k=n)(n!)/((n-k)!)n^(n-k)$ $AAn inNNrArr$
$rArr(int_0^n e^(-x)x^ndx)/(n!)=1-(e^(-n))/(n!)sum_(k=0)^(k=n)(n!)/((n-k)!)n^(n-k)=1-sum_(k=0)^(k=n)1/((n-k)!)(n/e)^n*1/(n^k)=$
$=1-[1/(n!)(n/e)^n+sum_(k=1)^(k=n)1/((n-k)!)(n!)/(sqrt(2pin))1/(n^k)(sqrt(2pin))/(n!)(n/e)^n]=$
$=1-1/(sqrt(2pin))[(sqrt(2pin))/(n!)(n/e)^n]-sum_(k=1)^(k=n)(n(n-1)cdots(n-k+1))/(n^k)1/(sqrt(2pin))[(sqrt(2pin))/(n!)(n/e)^n]$ $AAn inNN$;
noto poi che $0<=(n(n-1)cdots(n-k+1))/(n^k)<=1$ $AAn inNN,kin{1,...,n}$
(com'è possibile avvedersi,
fissati a piacere $overline(n)inNN,overline(k)in{1,...,overline(n)}$ col proposito di sfruttarne in un secondo momento l'arbitrarietà,
moltiplicando membro a membro le $overline(k)$ ovvie disuguaglianze $0<=overline(n)<=overline(n),...,0<=overline(n)-(overline(k)-1)<=overline(n)$)
$rArr0<=(n(n-1)cdots(n-k+1))/(n^k)1/(sqrt(2pin))<=1/(sqrt(2pin))$ $AAn inNN,kin{1,...,n}$:
pertanto,visto il teorema dei due carabinieri ed il limite che giustifica l'approssimazione di Stirling,
avremo che la successione da te proposta(a meno di miei e/orrori )converge a $1-0*1-sum_(n=1)^(n=k)0*1=1$.

Saluti dal web.
Edit:
Trovato il mio(grave ..)vizio di forma:
ho praticamente detto che una serie converge a 0 solo perchè ha termine generale infinitesimo!!
Ma vediamo se,
dai ragionamenti che in un eccesso di enfasi ed ingenuità m'han portato a concludere con troppa fretta questa corbelleria,
riesco a tirar fuori in modo "elementare" qualcosa di buono:
sempre integrali sono,in fondo,le funzioni speciali..

[Covenant]

Per caso fa $1/2$? se sì posto la soluzione.

[Andrea2976]

Una dimostrazione più elegante si può ottenere facendo un uso elementare della teoria delle probabilità, mi sembra che ci fosse già un post del genere nella sezione "probabilità e statistica".

Giusto un indizio se qualcuno si vuole cimenatre.

Il limite ha una "vaga" somiglianza con la funzione di ripartizione della distribuzione Gamma, che ha sua volta può essere ricavata come somma di v.a. con distribuzione esponenziale, poi si applica un "certo" Teorema che fa riferimento alla somma di v.a.

[Covenant]

Ok sono abbastanza confidente del risultato che avevo anticipato nel post precedente. Ho fatto qualche calcolo con Wolfram Alpha e quella "roba" sembrerebbe convergere a quanto ho trovato anche se molto lentamente.

La soluzione non è elementare dato che fa uso di funzioni speciali, probabilmente si può fare qualcosa di più semplice.

Il limite è: $lim_n \ 1/(n!) \ int_0^n e^-x*x^n \text{d}x$

Per la proprietà additiva dell'integrale si ha: $int_0^(oo) e^-x*x^n \text{d}x = int_0^n e^-x*x^n \text{d}x+int_n^(oo) e^-x*x^n \text{d}x$ e quindi:
1) $int_0^n e^-x*x^n \text{d}x = int_0^(oo) e^-x*x^n \text{d}x-int_n^(oo) e^-x*x^n \text{d}x$.

Per definizione si ha che:

$int_0^(oo) e^-x*x^n \text{d}x=\Gamma(n+1)$ ; $int_n^(oo) e^-x*x^n \text{d}x = \Gamma(n+1, n)$, dove $\Gamma(n+1,n)$ denota la funzione Gamma incompleta.


La 1) si riscrive quindi come: $int_0^n e^-x*x^n \text{d}x = \Gamma(n+1)-\Gamma(n+1,n)$ ed il limite diventa:

$lim_n (\Gamma(n+1)-\Gamma(n+1,n))/(\Gamma(n+1)) = lim_n ( 1-(\Gamma(n+1,n))/\(Gamma(n+1)))$.

Tutto sta nel valutare: $lim_n (\Gamma(n+1,n))/\(Gamma(n+1))$.

La funzione Gamma incompleta gode della seguente proprietà ricorsiva:

$\Gamma(a+1,z) = a*\Gamma(a,z)+z^a*e^-z$ e posto $a=z=n$ si ottiene: $\Gamma(n+1,n)= n*\Gamma(n,n)+n^n*e^-n$.

Inoltre vale l'approssimazione asintotica:

$\Gamma(n,n) \sim n^(n-1)*e^-n*(sqrt(pi/2n)-1/3)$ per $ntooo$.

Allora si ha: $\Gamma(n+1,n) \sim n*[n^(n-1)*e^-n*(sqrt(pi/2n)-1/3)]+n^n*e^-n = n^(n)*e^-n*(sqrt(pi/2n)-1/3)+n^n*e^-n$ .

Sostituendo il tutto il limite diventa: $lim_n 1/(n!)*( n^(n)*e^-n*sqrt(pi/2n)-1/3*n^n*e^-n+n^n*e^-n) = lim_n ( (n^(n)*e^-n*sqrt(pi/2n))/(n!)+2/3*(n^n*e^-n)/(n!))$.

Utilizzando l'approssimazione di Stirling per $n!$ si vede che l'addendo di destra tende a $0$ mentre quello di sinistra vale:
$lim_n \ (n^(n)*e^-n*sqrt(pi/2n)*e^n)/(sqrt(2pin)*n^n) = sqrt(1/4) = 1/2$.

Il limite risulta quindi:

$ lim_n ( 1-(\Gamma(n+1,n))/\(Gamma(n+1))) = 1-1/2 = 1/2$.

[aizarg1]

@Covenant : Il risultato è corretto e dimostri di padroneggiare sapientemente gli strumenti dell'analisi superiore, complimenti !
Tuttavia mi piacerebbe trovare una dimostrazione elementare, comprensibile anche a uno studente di primo anno di università, ho fatto parecchi tentativi senza ancora riuscirci. La sfida continua.

[gugo82]

@aizarg: Beh, la dimostrazione di Covenant (che era quella che avevo in mente pure io...) è quasi elementare, alla fin fine.

Infatti si basa su due fatti semplici: il primo è che \(\Gamma (n+1):=\int_0^\infty e^{-x}\ x^n\ \text{d} x =n!\) (che si stabilisce per induzione); la seconda è la ricorrenza:
\[
\Gamma (n+1,n) = n\ \Gamma (n,n) + n^n\ e^{-n}
\]
che si stabilisce integrando per parti.

L'unica cosa "difficile" è l'approssimazione di tipo Stirling:
\[
\Gamma (n,n) \approx n^{n-1}\ e^{-n}\ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}\ n} -\frac{1}{3}\right)\; ,
\]
che non è proprio immediata.

[wnvl]

"Andrea2976":Una dimostrazione più elegante si può ottenere facendo un uso elementare della teoria delle probabilità, mi sembra che ci fosse già un post del genere nella sezione "probabilità e statistica".

Giusto un indizio se qualcuno si vuole cimenatre.

Il limite ha una "vaga" somiglianza con la funzione di ripartizione della distribuzione Gamma, che ha sua volta può essere ricavata come somma di v.a. con distribuzione esponenziale, poi si applica un "certo" Teorema che fa riferimento alla somma di v.a.

Mi fa pensare a questo limite.

http://math.stackexchange.com/questions ... stribution

[Andrea2976]

Hai pensato bene!