Un divertente calcolo di (co)omologia
Salve a tutti!
Questo esercizio in effetti è davvero banale (per chi conosce quello di cui parlo), ma il risultato è così carino che non potevo non condividerlo!
Sia $X_m:=\mathbf{S}^1\times \ldots \times \mathbf{S}^1$ il prodotto topologico di $m$ copie di $\mathbf{S}^1$. Calcolare i gruppi di coomologia di de Rham $H_{ \text{dR}}^i (X_m)$ (o anche i gruppi d'omologia $H_i(X_m,\mathbf{K})$ a coefficienti in un campo).
Una volta fatto questo, calcolate i gruppi di coomologia di $X_{m}^n:=\mathbf{S}^n\times\ldots\times \mathbf{S}^n$, cioè il prodotto topologico di $m$ copie di $\mathbf{S}^n$. Che relazione c'è?
(Tra l'altro, sarebbe interessante calcolare anche $H_i (X_m,\mathbf{Z})$ e $H_i(X_m^n,\mathbf{Z})$ per vedere se ci sono legami...)
Questo esercizio in effetti è davvero banale (per chi conosce quello di cui parlo), ma il risultato è così carino che non potevo non condividerlo!
Sia $X_m:=\mathbf{S}^1\times \ldots \times \mathbf{S}^1$ il prodotto topologico di $m$ copie di $\mathbf{S}^1$. Calcolare i gruppi di coomologia di de Rham $H_{ \text{dR}}^i (X_m)$ (o anche i gruppi d'omologia $H_i(X_m,\mathbf{K})$ a coefficienti in un campo).
Una volta fatto questo, calcolate i gruppi di coomologia di $X_{m}^n:=\mathbf{S}^n\times\ldots\times \mathbf{S}^n$, cioè il prodotto topologico di $m$ copie di $\mathbf{S}^n$. Che relazione c'è?
(Tra l'altro, sarebbe interessante calcolare anche $H_i (X_m,\mathbf{Z})$ e $H_i(X_m^n,\mathbf{Z})$ per vedere se ci sono legami...)
Risposte
L'esercizio lo lascio fare a qualcun altro 
non sarebbe giusto.
Mi limito a fare alcune generalizzazioni interessanti: anzitutto uno ne puo' calcolare anche l'omologia singolare, ed emergono dei pattern interessanti legati alla interazione tra coomologia topologica (singolare, cellulare, etc), analitica (de Rham, fasci, Dolbeault) e algebrica.
Un divertente esercizio legato alla successione spettrale di Serre mostra che esiste un quasi-isomorfismo tra gli anelli di coomologia razionale di alcuni gruppi di Lie (in effetti questo e' conseguenza di un teorema di Hopf che dice qualcosa di simile relativo agli H-spazi) e opportuni prodotti di sfere di dimensioni dispari (con la formula di Kunneth questo e' facile, ma mi sa che a questo punto sto spoilerando l'esercizio...); allora quello che succede e' che, ad esempio,
\[
H^*(SU(n), \mathbb Q)\cong \land_{\mathbb Q}[x_3, x_5,\dots, x_{2n-1}]
\]
e passando al limite, \(H^*(\varinjlim_n SU(n),\mathbb Q)\cong \varprojlim_n \land_{\mathbb Q}[x_3, x_5,\dots, x_{2n-1}]\)(il colimite che devi fare e' filtrato, e ad opportune ipotesi questo e' un funtore esatto, che dunque commuta con la coomologia). Risultati simili si hanno per $SO(n)$, $U(n)$, $O(n)$ e i loro gruppi-limite $SO(\infty), U(\infty), O(\infty)$: una ottima fonte e' il libro di McLeary[1] sulle successioni spettrali, nel capitolo sulla SS di Leray-Serre.
Stabilire, ora, quale sia l'omologia (razionale) e' un facile esercizio usando la formula dei coefficienti universali. E' interessante a questo punto che non sia possibile fare il conto direttamente in omologia, perche' ai gruppi di omologia manca la struttura d'algebra (i differenziali della successione spettrale di Serre sono derivazioni, e questa struttura aggiuntiva rende estremamente piu' rigido il comportamento della successione e veloce la sua convergenza).
Questo comunque non vuol dire che un gruppo di Lie sia omotopicamente equivalente a un prodotto di sfere (magari!), se non altro perche' la coomologia razionale si e' dimenticata di tutta la torsione, che uno invece e' costretto a considerare se vuole cercare equivalenze omotopiche vere e proprie. Un altro esempio eclatante e' il fatto che se $p\ge 3$ e' un primo, gli anelli di coomologia \(H^*(SO(n), \mathbb Z/p)\) e \(H^*(\text{Spin}(n), \mathbb Z/p)\) sono isomorfi (e' un teorema di Borel che credo si possa trovare nel libretto [2]); d'altra parte questo quasi isomorfismo dimentica la 2-torsione, che invece e' essenziale (i gruppi di omologia intera di $SO(n)$ sono somma diretta di copie di \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Z/2\), cosa che al momento non riesco a collocare in una referenza). E in piu' sappiamo che $SO(n)$ e il suo rivestimento universale non sono omotopicamente equivalenti, dato che Spin(n) e' semplicemente connesso, ma $SO(n)$ no, se $n$ cresce abbastanza.
non sarebbe giusto.Mi limito a fare alcune generalizzazioni interessanti: anzitutto uno ne puo' calcolare anche l'omologia singolare, ed emergono dei pattern interessanti legati alla interazione tra coomologia topologica (singolare, cellulare, etc), analitica (de Rham, fasci, Dolbeault) e algebrica.
Un divertente esercizio legato alla successione spettrale di Serre mostra che esiste un quasi-isomorfismo tra gli anelli di coomologia razionale di alcuni gruppi di Lie (in effetti questo e' conseguenza di un teorema di Hopf che dice qualcosa di simile relativo agli H-spazi) e opportuni prodotti di sfere di dimensioni dispari (con la formula di Kunneth questo e' facile, ma mi sa che a questo punto sto spoilerando l'esercizio...); allora quello che succede e' che, ad esempio,
\[
H^*(SU(n), \mathbb Q)\cong \land_{\mathbb Q}[x_3, x_5,\dots, x_{2n-1}]
\]
e passando al limite, \(H^*(\varinjlim_n SU(n),\mathbb Q)\cong \varprojlim_n \land_{\mathbb Q}[x_3, x_5,\dots, x_{2n-1}]\)(il colimite che devi fare e' filtrato, e ad opportune ipotesi questo e' un funtore esatto, che dunque commuta con la coomologia). Risultati simili si hanno per $SO(n)$, $U(n)$, $O(n)$ e i loro gruppi-limite $SO(\infty), U(\infty), O(\infty)$: una ottima fonte e' il libro di McLeary[1] sulle successioni spettrali, nel capitolo sulla SS di Leray-Serre.
Stabilire, ora, quale sia l'omologia (razionale) e' un facile esercizio usando la formula dei coefficienti universali. E' interessante a questo punto che non sia possibile fare il conto direttamente in omologia, perche' ai gruppi di omologia manca la struttura d'algebra (i differenziali della successione spettrale di Serre sono derivazioni, e questa struttura aggiuntiva rende estremamente piu' rigido il comportamento della successione e veloce la sua convergenza).
Questo comunque non vuol dire che un gruppo di Lie sia omotopicamente equivalente a un prodotto di sfere (magari!), se non altro perche' la coomologia razionale si e' dimenticata di tutta la torsione, che uno invece e' costretto a considerare se vuole cercare equivalenze omotopiche vere e proprie. Un altro esempio eclatante e' il fatto che se $p\ge 3$ e' un primo, gli anelli di coomologia \(H^*(SO(n), \mathbb Z/p)\) e \(H^*(\text{Spin}(n), \mathbb Z/p)\) sono isomorfi (e' un teorema di Borel che credo si possa trovare nel libretto [2]); d'altra parte questo quasi isomorfismo dimentica la 2-torsione, che invece e' essenziale (i gruppi di omologia intera di $SO(n)$ sono somma diretta di copie di \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Z/2\), cosa che al momento non riesco a collocare in una referenza). E in piu' sappiamo che $SO(n)$ e il suo rivestimento universale non sono omotopicamente equivalenti, dato che Spin(n) e' semplicemente connesso, ma $SO(n)$ no, se $n$ cresce abbastanza.
Nessuno fa questo conto? E' un gran peccato!
Risultati del genere sono meglio compresi e generalizzabili usando in maniera furba la successione spettrale di Kunneth, che dice
\[
E_{pq}^2 = \bigoplus_{i+j=q}\text{Tor}^\mathbb Z_p(H_i(X), H_j(Y)) \underset{p}\Rightarrow H_{p+q}(X\times Y)
\] nel caso in cui i gruppi di omologia di uno spazio topologico $X$ siano gruppi liberi, infatti, la successione degenera gia' al secondo livello, dandoti la classica formula di Kunneth per l'omologia di un prodotto. Quello che succede e' che se (mettiamo) $H_i(X)$ e' fatta di gruppi liberi, allora \(\text{Tor}^\mathbb Z_p(H_{q_1}(X), H_{q_2}(Y))=0\) per ogni $p>0$, sicche' l'unica colonna non nulla nella successione spettrale e' quella con $p=0$, che deve dunque coincidere con la pagina-limite: sei in questa situazione,
Risultati del genere sono meglio compresi e generalizzabili usando in maniera furba la successione spettrale di Kunneth, che dice
\[
E_{pq}^2 = \bigoplus_{i+j=q}\text{Tor}^\mathbb Z_p(H_i(X), H_j(Y)) \underset{p}\Rightarrow H_{p+q}(X\times Y)
\] nel caso in cui i gruppi di omologia di uno spazio topologico $X$ siano gruppi liberi, infatti, la successione degenera gia' al secondo livello, dandoti la classica formula di Kunneth per l'omologia di un prodotto. Quello che succede e' che se (mettiamo) $H_i(X)$ e' fatta di gruppi liberi, allora \(\text{Tor}^\mathbb Z_p(H_{q_1}(X), H_{q_2}(Y))=0\) per ogni $p>0$, sicche' l'unica colonna non nulla nella successione spettrale e' quella con $p=0$, che deve dunque coincidere con la pagina-limite: sei in questa situazione,
[/list:u:g7j5hpy0]e ottieni che \( E_{oq}^\infty = H_q(X\times Y) = \bigoplus_{i+j=q} H_i(X)\otimes H_j(Y) \). In generale, comunque, se consideri anelli di coefficienti non troppo strani (tipo anelli noetheriani, regolari, o altra roba) la cui dimensione omologica sia finita e "piccola", la degenerazione della successione e' comunque abbastanza rapida da garantire che i vari termini correttivi siano calcolabili.
Tutto ciò è molto interessante, sebbene il mio esercizio di partenza sia decisamente banale! E sì, è un peccato che nessuno faccia questo conto, perché il risultato è molto carino.
Io non ho fatto i conti a coefficienti in $\mathbf{Z}$ per il solo motivo che mi stava fatica (XD) ma non dubito affatto che sia molto illuminante. Adesso che ci penso, visto che io non sono avvezzo all'uso delle successioni spettrali (ancora...), il teorema di Kunneth per l'omologia a coefficienti in $\mathbf{Z}$ (ovvero in un PID) porge la successione esatta
\[0\longrightarrow \bigoplus_{i+j=p} H_i(X)\otimes_{\mathbf{Z}} H_j(Y)\longrightarrow H_p (X\times Y)\longrightarrow \bigoplus_{i+j=p-1} \mathrm{Tor}_1^{\mathbf{Z}}(H_i(X),H_j(Y))\longrightarrow 0\]
ma nel caso degli spazi $X_m$ e $X_m^n$ prima definiti non dovremmo aver problemi nel calcolo di $\text{Tor} _1^\mathbf{Z}$ visto che l'omologia di ogni fattore è formata da soli gruppi abeliani liberi... (ossia, la mia pigrizia era mal fondata XD)
Io non ho fatto i conti a coefficienti in $\mathbf{Z}$ per il solo motivo che mi stava fatica (XD) ma non dubito affatto che sia molto illuminante. Adesso che ci penso, visto che io non sono avvezzo all'uso delle successioni spettrali (ancora...), il teorema di Kunneth per l'omologia a coefficienti in $\mathbf{Z}$ (ovvero in un PID) porge la successione esatta
\[0\longrightarrow \bigoplus_{i+j=p} H_i(X)\otimes_{\mathbf{Z}} H_j(Y)\longrightarrow H_p (X\times Y)\longrightarrow \bigoplus_{i+j=p-1} \mathrm{Tor}_1^{\mathbf{Z}}(H_i(X),H_j(Y))\longrightarrow 0\]
ma nel caso degli spazi $X_m$ e $X_m^n$ prima definiti non dovremmo aver problemi nel calcolo di $\text{Tor} _1^\mathbf{Z}$ visto che l'omologia di ogni fattore è formata da soli gruppi abeliani liberi... (ossia, la mia pigrizia era mal fondata XD)
Questo problema si generalizza al calcolo dell'omologia (o della coomologia, via coefficienti universali) di un prodotto di sfere \(\mathbb{S}^{a_1}\times\cdots \times \mathbb{S}^{a_n}\); dato che l'omologia di ogni fattore è formata da soli gruppi abeliani liberi, e' sufficiente moltiplicare le serie di Poincare' delle sfere, \(\prod_i (1+X^{a_i})\) per avere che il coefficiente di $X^k$ e' esattamente il rango di \(H_k(\prod \mathbb{S}^{\vec a},{\bf Z})\). (la dualita' di Poincare' e la simmetria della serie di Poincare' si specchiano a vicenda e aiutano leggermente).
Ora, si puo' usare ancora la formula di Kunneth per trovare l'anello di omologia
\[
H_k\big(\Omega( \mathbb{S}^{\vec a}),{\bf Z}\big)
\] dato che \(\Omega(\mathbb{S}^{a_1}\times\cdots \times \mathbb{S}^{a_n})\cong \Omega\mathbb{S}^{a_1}\times\cdots \times \Omega\mathbb{S}^{a_n}\); si puo' determinare
\[
H_k\big(\Omega( \mathbb{S}^{\vec a}),{\bf Z}\big) \cong \bigoplus_{i_1+\dots + i_n=k}H_i(\Omega\mathbb{S}^{a_1},{\bf Z})\otimes \cdots\otimes H_{i_n}(\Omega\mathbb{S}^{a_n},{\bf Z})
\]
Grazie al fatto che (si dimostra con la successione spettrale di Serre) la serie di Poincare' di $\Omega \mathbb{S}^m$ e' $\frac{1}{1-X^m}$ si deve essenzialmente trovare la serie formale del prodotto
\[
\frac{1}{(X^{a_1}-1)(X^{a_2}-1)\cdots (X^{a_n}-1)}
\] Questo non e' un problema banale: c'e' infatti un modo molto semplice di scrivere quella produttoria, adattando la funzione generatrice della funzione di partizione (clck), ovvero
\[
\sum_{\vec{k}\in {\bf N}^n} X^{\vec k\cdot \vec a}
\] dove \(\vec a=(a_1,\dots,a_n)\) e $\vec k$ sono due multiindici. Chiaramente stiamo contando molte volte uno stesso $X^i$; lo stiamo contando esattamente tante volte quanti sono i modi di scrivere $i\in\bf N$ come prodotto scalare di interi $\vec k\cdot \vec a$ ($\vec a$ e' il vettore delle dimensioni delle sfere). Allora ci interessa la cardinalita' di questo insieme:
\[
\Phi_{\vec a,i} = \big\{ k\in{\bf N}^n\mid \vec k \cdot\vec a = i\big\}
\] di modo che la serie formale di sopra scritta come cristo comanda e'
\[
\sum_{i=0}^\infty |\Phi_{\vec a,i}| X^i
\] Ora, nel caso particolare in cui \(\vec a =(1,\dots,1)\) si ha che $|\Phi_{\vec a ,i}|$ e' il numero delle partizioni dell'intero $i$. Per questa cosa non esistono formule chiuse, ma stime asintotiche o regole ricorsive che permettano di calcolare in tempo utile le partizioni di $i$. Ci sono delle simili relazioni ricorsive per i generici $\Phi_{\vec 1,i}$? (Temo si debba tenere conto di relazioni di coprimalita' tra gli $a_i$, perche' tutto ruota attorno al fatto che bisogna risolvere una diofantea lineare).
Ora, si puo' usare ancora la formula di Kunneth per trovare l'anello di omologia
\[
H_k\big(\Omega( \mathbb{S}^{\vec a}),{\bf Z}\big)
\] dato che \(\Omega(\mathbb{S}^{a_1}\times\cdots \times \mathbb{S}^{a_n})\cong \Omega\mathbb{S}^{a_1}\times\cdots \times \Omega\mathbb{S}^{a_n}\); si puo' determinare
\[
H_k\big(\Omega( \mathbb{S}^{\vec a}),{\bf Z}\big) \cong \bigoplus_{i_1+\dots + i_n=k}H_i(\Omega\mathbb{S}^{a_1},{\bf Z})\otimes \cdots\otimes H_{i_n}(\Omega\mathbb{S}^{a_n},{\bf Z})
\]
Grazie al fatto che (si dimostra con la successione spettrale di Serre) la serie di Poincare' di $\Omega \mathbb{S}^m$ e' $\frac{1}{1-X^m}$ si deve essenzialmente trovare la serie formale del prodotto
\[
\frac{1}{(X^{a_1}-1)(X^{a_2}-1)\cdots (X^{a_n}-1)}
\] Questo non e' un problema banale: c'e' infatti un modo molto semplice di scrivere quella produttoria, adattando la funzione generatrice della funzione di partizione (clck), ovvero
\[
\sum_{\vec{k}\in {\bf N}^n} X^{\vec k\cdot \vec a}
\] dove \(\vec a=(a_1,\dots,a_n)\) e $\vec k$ sono due multiindici. Chiaramente stiamo contando molte volte uno stesso $X^i$; lo stiamo contando esattamente tante volte quanti sono i modi di scrivere $i\in\bf N$ come prodotto scalare di interi $\vec k\cdot \vec a$ ($\vec a$ e' il vettore delle dimensioni delle sfere). Allora ci interessa la cardinalita' di questo insieme:
\[
\Phi_{\vec a,i} = \big\{ k\in{\bf N}^n\mid \vec k \cdot\vec a = i\big\}
\] di modo che la serie formale di sopra scritta come cristo comanda e'
\[
\sum_{i=0}^\infty |\Phi_{\vec a,i}| X^i
\] Ora, nel caso particolare in cui \(\vec a =(1,\dots,1)\) si ha che $|\Phi_{\vec a ,i}|$ e' il numero delle partizioni dell'intero $i$. Per questa cosa non esistono formule chiuse, ma stime asintotiche o regole ricorsive che permettano di calcolare in tempo utile le partizioni di $i$. Ci sono delle simili relazioni ricorsive per i generici $\Phi_{\vec 1,i}$? (Temo si debba tenere conto di relazioni di coprimalita' tra gli $a_i$, perche' tutto ruota attorno al fatto che bisogna risolvere una diofantea lineare).
Ciao cari, vorrei prossimamente provare a ripassare le mia blande conoscenze sull'argomento per risolvere almeno la versione "banale". Potete dirmi dal libro di Allen Hatcher "Algebraic topology" (avevo cominciato a leggerlo tempo fa') quali sono i capitoli con le basi usate per risolverlo così vado a rispolverarmele e cerco pian piano di fare l'esercizio? Nel caso mettete pure in spoiler. Grazie mille!
Thomas
Thomas
Ti consiglio, invece del libro di Hatcher che e' abbastanza enciclopedico e dispersivo, il libro di Hajime Sato, "Algebraic Topology, an intuitive approach".
Grazie mille per la refererenza seguo il tuo consiglio! Posso rifare la domanda precedente riferendola al libro di Hajime Sato? Ovvero quali capitoli di questo libro sono necessari (e si spera sufficienti) per risolvere la versione semplice dell'esercizio?
Thomas
Thomas
I capitoli 4-5-6-7 contengono tutto il materiale basilare. Il capitolo 9 contiene quel che serve sulla successione spettrale di Serre e i primi conti che ci puoi fare.
Ok spero di farmi risentire (tra un po' di tempo) con una risposta al problema!
Thomas
Thomas
Eccomi, sono arrivato pian piano, tempo permettendo, al capitolo 7. Immagino che per risolvere il problema si debba applicare la formula di Kunneth usando che i gruppi di torsione sono nulli quando i coefficienti sono in un campo. Però ho un bel po' di cose che mi sono poco chiare dalla lettura del testo, che mi interessano anche più del conto in se'. Killing_buddha ti andrebbe di rispondere ad un po' di domande sul libro che mi hai consigliato? (domande magari un po'confuse, viste che insomma molte cose non mi sono chiare...). Se si fammi sapere così mi impegno a formularle in una maniera sensata... Thx in any case
Prova, io sono qui
Grazie mille della disponibilita'! Dammi un'altra settimanella per riflettere un altro po' e trovare il tempo di scrivere delle domande che abbiano un senso 
a presto!
a presto!
Ho paura dei [de]funtori!_______
eh?
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