Un determinante (SISSA 2012)

[Vincent46]

Si consideri la funzione di variabile reale $x$ definita da
\[ D(x) = \det (A+Bx) \, ,\]
dove $A$ e $B$ sono due matrici $n \times n$.

1. Dimostrare che $D(x)$ è un polinomio di grado al più $n$.
2. Calcolare $D(x)$ nel caso in cui le matrici siano

$$ A = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & a & a & ... & a \\
b & \lambda_2 & a & ... & a \\
b & b & \lambda_3 & ... & a \\
... & ... &... &... & ... \\
b & b & b & ... & \lambda_n
\end{bmatrix}, \qquad \qquad
B = \begin{bmatrix}
1 & 1 & ... & 1 \\
1 & 1 & ... & 1 \\
... & ... & ... & ... \\
1 & 1 & ... & 1
\end{bmatrix} \, ,
$$
per $n \in \mathbb{N}$ dato e fissati $a \ne b, \lambda_1, ..., \lambda_n$ reali.

Ho una mia soluzione.

[j18eos]

Ma sì dai: non ho nulla da fare!

Esercizio 1.

Per definizione:
\[
A=\left(a_i^j\right),B=\left(b_i^j\right)\in\mathbb{R}^n_n;\\
\det(A+Bx)=\sum_{\pi\in Sym(n)}sign(\pi)\prod_{k=1}^n\left(a_k^{\pi(k)}+b_k^{\pi(k)}x\right)
\]
la seconda riga descrive un polinomio a coefficienti reali di grado al più \(\displaystyle n\).

Esercizio 2. ...in sospeso; ma lascio in spoiler la parolina magica:

triangolarizzare!

[Vincent46]

1:

Il punto 2 non l'ho risolto col metodo che hai detto tu, ma lascio lo stesso un suggerimento riguardante il procedimento da me adottato:

Modificare la matrice $A+Bx$ mediante trasformazioni che lasciano invariato il determinante, in modo da calcolare agevolmente il grado del polinomio $\text{Det} (A+Bx)$. Poi, interpolare.