Un cubo tutto rosso

[red3]

Abbiamo a disposizione 8 cubetti di uguali dimensioni , con le facce colorate di blu o di rosso. Le facce sono colorate in modo casuale, senza alcuna regola. Sappiamo solo che 1/3 del numero totale delle facce è blue, mentre il resto è rosso. Sappiamo inoltre che usando questi 8 cubetti, è possibile costruire un cubo grande, in modo che 1/3 delle facce visibili dei cubetti che lo compongono sia rosso.
Dimostrare che montando opportunamente il cubo grande, è possibile fare in modo che tutte le facce visibili dei cubetti che lo compongono siano rosse.

[axpgn]

Se non ho contato male abbiamo $48$ facce piccole di cui $16$ blu.
Il cubo grande mostra $24$ facce piccole ed è possibile costruirne una versione con $16$ facce blu piccole ovvero tutte quelle nascoste sono rosse quindi basta "ribaltare" tutti i cubetti (di ogni cubetto si vedono solo tre facce e perciò è sempre possibile girarlo in modo tale che mostri solo le tre nascoste).

Cordialmente, Alex

[red3]

più o meno è così. Difficile da dimostrare più formalmente.

[axpgn]

Scusami ma cosa intendi per "più formale"? Più di così ...

Ho qui un dado davanti a me, lo ruoto di $180°$ nel piano che passa dal mio naso al centro del cubo.
Fatto.

Cordialmente, Alex

[red3]

e' empirico.

[axpgn]

Empirico? Cioè? Di solito si usa in opposizione a "razionale, scientifico" ma qui non c'è niente di "poco scientifico"
Prima si fanno alcuni conti (da Matematica Elementare) per dimostrare che le facce nascoste sono tutte dello stesso colore poi si applica un'isometria ad ogni cubetto. Finito.

[red3]

non volevo dire questo Alex, non ti arrabbiare. Cambio in "un pò empirico"

[axpgn]

Non sono arrabbiato, solo stupito (con la "t" si spera )
Per "più formale" forse intendi "più generale" ma hai postato un problema specifico e quindi hai avuto una risposta specifica, per avere un risultato più generale (sempre che esista) dovresti postare un quesito più generale (anche se la dimostrazione penso sarebbe sostanzialmente la stessa)
Isn't it?

Cordialmente, Alex

[red3]

no, niente di più generale. Mi aspettavo solo una risposta un pò più estesa . Ma probabilmente tutti hanno capito lo stesso.

[Quinzio]

"red3":...Le facce sono colorate in modo casuale, senza alcuna regola. Sappiamo solo che 1/3 del numero totale delle facce è blue, ....
tutte le facce visibili dei cubetti che lo compongono siano rosse.

C'e' qualcosa che non va nell'enunciato.
Se la distribuzione dei colori e' casuale e' possibile avere un cubetto con le facce tutte blu, e quindi non e' possibile nasconderle quando si costruisce il cubo grande.

[axpgn]

Sì ma in questo caso ti dice anche che è possibile costruire un cubo grande di cui un terzo delle facce visibili è rosso ovvero in QUESTO problema la distribuzione casuale che è scaturita permette di fare quanto richiesto; non sta dicendo che per "qualunque" distribuzione casuale sia possibile raggiungere quel risultato ma se permette quella condizione (un terzo facce visibili rosse) allora sì.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"è possibile costruire un cubo grande, in modo che 1/3 delle facce visibili dei cubetti che lo compongono sia rosso. "

Io avevo inteso che 1/3 delle faccette e' rosso e per il resto non si sa (possono essere sia rosse che blu).
Invece e' da intendere che le altre 2/3 x 24 = 16 faccette sono blu ?
E cosi' ?

[axpgn]

Possono essere rosse o blu le altre e quindi è contemplata la possibilità che siano tutte blu da cui il resto ...

[Quinzio]

"axpgn":Possono essere rosse o blu le altre e quindi è contemplata la possibilità che siano tutte blu da cui il resto ...

Grazie per la risposta, eppure io continuo ad avere un dubbio.

Se si chiede di dimostrare che esista almeno una distribuzione dei colori che soddisfi l'enunciato allora la risposta e' banale: le 16 facce blu sono rivolte all'interno e tutte le facce esterne sono rosse. E quindi era possibile anche fare il cubo con 1/3 di facce rosse (anche tutte le altre sono rosse, posso deciderlo io).

Se si chiede che qualsiasi distribuzione di colori vada bene allora non si puo' fare perche' puo' capitare un cubetto tutto blu.

Forse continuo a non capire io, o forse e' un po' colpa del mal di testa che ho.

[axpgn]

Mah, se avessero messo l'avverbio "solo" tra le parole "che" e "1/3 delle facce"

"red3":Sappiamo inoltre che usando questi 8 cubetti, è possibile costruire un cubo grande, in modo che 1/3 delle facce visibili dei cubetti che lo compongono sia rosso.

sarebbe stato meglio però a me pare chiaro che fosse questo il senso.
Se poi sia troppo banale, beh, dipende per te chiaramente lo è, per me non è difficile ma questo non significa che lo sia per tutti e d'altra parte accade per moltissimi quesiti: dopo che ti è venuta l'idea giusta, diventano facilissimi
IMHO


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

"axpgn":
Se poi sia troppo banale, beh, dipende per te chiaramente lo è, per me non è difficile ma questo non significa che lo sia per tutti e d'altra parte accade per moltissimi quesiti: dopo che ti è venuta l'idea giusta, diventano facilissimi
IMHO

Cordialmente, Alex

Ok ok, non volevo sembrare presuntuoso.
Passo oltre perche' ho capito di non avere un buon feeling con questo problema.

[axpgn]

"Quinzio":Ok ok, non volevo sembrare presuntuoso.

Ma figurati!

Io la vedrei così ...

La prima affermazione ci dice che le facce blu sono $16$ implicando quindi che le rosse visibili non possono essere meno di $8$; se stesse considerando tutte le combinazioni di colorazione possibili, la seconda affermazione sarebbe perciò del tutto inutile, ridondante; la seconda affermazione quindi serve per dire che ci troviamo in una situazione in cui le colorazioni possibili comprendono ANCHE quelle con SOLAMENTE otto facce rosse visbili.
Non ti pare?

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Si certo.
Mi ero immaginato un problema piu' difficile di quello che e' in realta'.