Un corollario (?) del Banach fixed-point theorem

[Sk_Anonymous]

Sia \(\displaystyle X \) uno spazio metrico compatto e sia \(\displaystyle T:X \to X \) un'applicazione t.c. \(\displaystyle d(T(x),T(y)) < d(x,y) \) per ogni \(\displaystyle x, \; y \in X \) con \(\displaystyle x \ne y \). Provare che \(\displaystyle T \) ha un unico punto fisso su \(\displaystyle X \).

L'idea mi era già stata suggerita per metà.

Sull'esistenza:
Definisco la funzione \(\displaystyle f(x) : = d(x,T(x)) \); è chiaro come essa sia continua (provarlo!). Pertanto essa ammette un punto di minimo su \(\displaystyle X \) in quanto spazio metrico compatto (th. di Weierstrass). Sia \(\displaystyle x_{0} \in X \) tale che \(\displaystyle f(x_{0})=\min_{x \in X} f(x) \). Ora, se fosse \(\displaystyle f(x_{0}) \ne 0 \) si avrebbe \(\displaystyle x_{0} \ne T(x_{0}) \) e per ipotesi su \(\displaystyle T \) si avrebbe \[\displaystyle d(T(T(x_{0})),T(x_{0})) < d(T(x_{0}),x_{0}) = f(x_{0}) \] ossia \(\displaystyle f(T(x_{0})) < f(x_{0}) \) contro l'aver posto \(\displaystyle f(x_{0}) = \min_{x \in X} f(x) \). Dovrà essere allora \(\displaystyle f(x_{0})=0 \), ossia \(\displaystyle x_{0}=T(x_{0}) \).

Sull'unicità:
Siano \(\displaystyle x_{0}, \; y_{0} \in X \) t.c. \(\displaystyle x_{0}=T(x_{0}) \) e \(\displaystyle y_{0}=T(y_{0}) \), con \(\displaystyle x_{0} \ne y_{0} \). Allora \[\displaystyle 0

Edit. Corretto refuso grammaticale.

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Risposte

Seneca1

13 ott 2012, 16:12

Come dicevi tu è un corollario; basta osservare che uno spazio metrico compatto è anche completo per usare il teorema di Banach-Caccioppoli.

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Sk_Anonymous

13 ott 2012, 16:32

@Seneca:

Mmm... Però la condizione \(\displaystyle d(T(x),T(y)) < d(x,y) \) è più debole di quella nelle ipotesi del teorema di Banach, e basta prendere la funzione \(\displaystyle f:[1,+\infty) \to [1,+\infty) \) definita da \(\displaystyle f(x)=x+1/x \) per accorgersene; essa non ammette punti fissi. In questo caso direi quindi che l'ipotesi di compattezza è fondamentale.

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Seneca1

13 ott 2012, 16:43

Ops, hai ragione. Avevo letto male le ipotesi.

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Rigel1

13 ott 2012, 17:31

@Delirium:

La dimostrazione mi sembra corretta; per l'unicità si può ragionare più rapidamente osservando che, con le tue notazioni,
\[
d(x_0, y_0) = d(T(x_0), T(y_0)) < d(x_0, y_0)
\]
da cui l'assurdo.

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gugo82

14 ott 2012, 10:35

Innanzitutto, una definizione:

Si dice che un'applicazione \(F\) tra i sostegni di due spazi metrici \((X,d_X)\) ed \((Y,d_Y)\) è non-dilatante se risulta:
\[
\forall x_1,x_2\in X,\qquad d_Y(F(x_1),F(x_2))\leq d_X(x_1,x_2)\; .
\]

ed un paio di memento:

Sia \((X,\| \cdot \| )\) uno spazio vettoriale normato.
La funzione \(d:X^2\to \mathbb{R}\) definita ponendo \(d(x_1,x_2):=\|x_2-x_1\|\) è una metrica su \(X\), detta metrica indotta dalla norma \(\| \cdot \|\).

Lo spazio normato \(X\) può essere dotato della stuttura di spazio metrico usando la metrica \(d\) indotta dalla norma: dotando \(X\) di tale struttura, le applicazioni di somma e prodotto per lo scalare risultano continue.

Inoltre, si dice che un sottoinsieme \(S\subseteq X\) è chiuso [risp. compatto] in \(X\) se e solo se esso è chiuso [risp. compatto] nello spazio metrico \((X,d)\).

Sia \(X\) uno spazio vettoriale e \(C\subseteq X\).
si dice che \(C\) è convesso se:
\[
\forall x_1,x_2\in C,\ \forall \lambda \in [0,1],\quad \lambda x_1+(1-\lambda)x_2\in C\; .
\]

Esercizio:

Siano \((X,\| \cdot \|)\) uno spazio vettoriale normato, \(C\subseteq X\) chiuso, convesso e non vuoto ed \(F:C\to C\).
Se:

[list=1] [*:57fc3lht] \(F\) è non-dilatante in \(C\),

[/*:m:57fc3lht]
[*:57fc3lht] \(F(C) \subset \subset C\), i.e. \(F(C)\) è contenuto in un compatto contenuto in \(C\),[/*:m:57fc3lht][/list:o:57fc3lht]

allora \(F\) ha almeno un punto fisso in \(C\).

Suggerimenti: fissato \(x_0\in C\), si provi che le mappe \(F_n (x):= \frac{1}{n} x_0+ \frac{n-1}{n} F(x)\) (qui \(n\in \mathbb{N}\)) sono contrazioni; si applichi il teorema di Banach-Caccioppoli; si usi la 2. per concludere.

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[Seneca1]

Come dicevi tu è un corollario; basta osservare che uno spazio metrico compatto è anche completo per usare il teorema di Banach-Caccioppoli.

[Sk_Anonymous]

@Seneca:

Mmm... Però la condizione \(\displaystyle d(T(x),T(y)) < d(x,y) \) è più debole di quella nelle ipotesi del teorema di Banach, e basta prendere la funzione \(\displaystyle f:[1,+\infty) \to [1,+\infty) \) definita da \(\displaystyle f(x)=x+1/x \) per accorgersene; essa non ammette punti fissi. In questo caso direi quindi che l'ipotesi di compattezza è fondamentale.

[Seneca1]

Ops, hai ragione. Avevo letto male le ipotesi.

[Rigel1]

@Delirium:

La dimostrazione mi sembra corretta; per l'unicità si può ragionare più rapidamente osservando che, con le tue notazioni,
\[
d(x_0, y_0) = d(T(x_0), T(y_0)) < d(x_0, y_0)
\]
da cui l'assurdo.

[gugo82]

Innanzitutto, una definizione:

Si dice che un'applicazione \(F\) tra i sostegni di due spazi metrici \((X,d_X)\) ed \((Y,d_Y)\) è non-dilatante se risulta:
\[
\forall x_1,x_2\in X,\qquad d_Y(F(x_1),F(x_2))\leq d_X(x_1,x_2)\; .
\]

ed un paio di memento:

Sia \((X,\| \cdot \| )\) uno spazio vettoriale normato.
La funzione \(d:X^2\to \mathbb{R}\) definita ponendo \(d(x_1,x_2):=\|x_2-x_1\|\) è una metrica su \(X\), detta metrica indotta dalla norma \(\| \cdot \|\).

Lo spazio normato \(X\) può essere dotato della stuttura di spazio metrico usando la metrica \(d\) indotta dalla norma: dotando \(X\) di tale struttura, le applicazioni di somma e prodotto per lo scalare risultano continue.

Inoltre, si dice che un sottoinsieme \(S\subseteq X\) è chiuso [risp. compatto] in \(X\) se e solo se esso è chiuso [risp. compatto] nello spazio metrico \((X,d)\).

Sia \(X\) uno spazio vettoriale e \(C\subseteq X\).
si dice che \(C\) è convesso se:
\[
\forall x_1,x_2\in C,\ \forall \lambda \in [0,1],\quad \lambda x_1+(1-\lambda)x_2\in C\; .
\]

Esercizio:

Siano \((X,\| \cdot \|)\) uno spazio vettoriale normato, \(C\subseteq X\) chiuso, convesso e non vuoto ed \(F:C\to C\).
Se:

[list=1] [*:57fc3lht] \(F\) è non-dilatante in \(C\),

[/*:m:57fc3lht]
[*:57fc3lht] \(F(C) \subset \subset C\), i.e. \(F(C)\) è contenuto in un compatto contenuto in \(C\),[/*:m:57fc3lht][/list:o:57fc3lht]

allora \(F\) ha almeno un punto fisso in \(C\).

Suggerimenti: fissato \(x_0\in C\), si provi che le mappe \(F_n (x):= \frac{1}{n} x_0+ \frac{n-1}{n} F(x)\) (qui \(n\in \mathbb{N}\)) sono contrazioni; si applichi il teorema di Banach-Caccioppoli; si usi la 2. per concludere.