Un calcolo particolare

[Sk_Anonymous]

La successione ${a_n}$ é definita come segue :
\(a_n=\sqrt[4]{2}+\sqrt[n]{4}\) con $n>=2$
Provare che si ha :
\( \frac{1}{a_5}+\frac{1}{a_6}+\frac{1}{a_{12}}+\frac{1}{a_{20}}=\sqrt[4]{8} \)
P.S. Secondo me il calcolo diretto del primo membro della relazione proposta si può anche tentare
...Se non si muore prima di arrivare alla fine !

[totissimus]

$\alpha^{60}=2$

$a_{5}=\alpha^{15}+\alpha^{24}=\alpha^{15}(1+\alpha^{9})$

$a_{6}=\alpha^{15}+\alpha^{20}=\alpha^{15}(1+\alpha^{5})$

$a_{12}=\alpha^{15}+\alpha^{10}=\alpha^{10}(1+\alpha^{5})$

$a_{20}=\alpha^{15}+\alpha^{6}=\alpha^{6}(1+\alpha^{9})$

$a_{5}a_{6}a_{12}a_{20}=\alpha^{46}(1+\alpha^{9})^{2}(1+\alpha^{5})^{2}$

$a_{5}a_{20}(a_{6}+a_{12})=\alpha^{31}(1+\alpha^{5})^{2}(1+\alpha^{9})^{2}$

$a_{6}a_{12}(a_{5}+a_{20})=\alpha^{31}(1+\alpha^{5})^{2}(1+\alpha^{9})^{2}$

$a_{5}a_{6}a_{12}+a_{5}a_{6}a_{20}+a_{5}a_{12}a_{60}+a_{6}a_{12}a_{60}=2\alpha^{31}(1+\alpha^{5})^{2}(1+\alpha^{9})^{2}$

\(\displaystyle \frac{1}{a_{5}}+\frac{1}{a_{6}}+\frac{1}{a_{12}}+\frac{1}{a_{20}}=\frac{2\alpha^{31}(1+\alpha^{5})^{2}(1+\alpha^{9})^{2}}{\alpha^{46}(1+\alpha^{9})^{2}(1+\alpha^{5})^{2}}=\frac{2}{\alpha^{15}}=\frac{2}{\sqrt[4]{2}}=\sqrt[4]{8}\)

Si può morire d'amore ma non di Algebra !

[Sk_Anonymous]

Ottimo, totissimus !
Secondo me non si muore neanche per amore...Sono tutte balle !

[totissimus]

@ciromario: hai ragione.