Uguaglianza in $|\int_X f(x) dx|<=\int_X |f(x)| dx$
Qualche ragionamento sconclusionato. Probabilmente è notissimo, ma non sono riuscito a trovarlo da nessuna parte, e allora ho deciso di scriverlo qui, per chiarirmi le idee e per sottoporlo alla vostra critica.
La domanda che mi sono fatto è questa:
è notissimo che $|\int_X f(x) dx|<=\int_X |f(x)| dx$.
Quando vale l'uguaglianza?
C'ho perso un po' di tempo e ci sono arrivato per generalizzazioni successive.
Supponiamo la funzione a valori reali (a seconda di quel che si vuol fare la si può supporre integrabile s. R., $L^1$, insomma quello che serve). Allora io dico
vale l'uguaglianza $<=>$ $f$ ha segno costante.
(vorrei provare direttamente l'enunciato finale, che li implicherà tutti)
Se la funzione ha valori complessi,
vale l'uguaglianza $<=>$ $EE \alpha in CC EE g \text{ "una funzione" } t.c. AA z in C: f(z)=e^(i\alpha)g(z), g(z)>0$ (ove "una funzione" assume le ipotesi che servono).
Se la funzione ha valori in $RR^n$,
Vale l'uguaglianza $<=>$ $EE \alpha in RR^n EE g \text{ "una funzione" } t.c. AA x in RR^n: f(x)=\alpha g(x), g(x)>0$.
Ho pensato ad una dimostrazione, mi mancano ancora alcuni dettagli e quindi non la pubblico, ma direi che dovrebbe essere valida anche in un generico Hilbert (complesso).
Credo abbastanza alla verità di quest'ultima, perchè tutto sommato "si vede".
Ho provato il caso complesso, però vorrei vedere se si riesce a provare quest'ultimo.
E "a valori in un Banach"? Qui non ho proprio idee..
La domanda che mi sono fatto è questa:
è notissimo che $|\int_X f(x) dx|<=\int_X |f(x)| dx$.
Quando vale l'uguaglianza?
C'ho perso un po' di tempo e ci sono arrivato per generalizzazioni successive.
Supponiamo la funzione a valori reali (a seconda di quel che si vuol fare la si può supporre integrabile s. R., $L^1$, insomma quello che serve). Allora io dico
vale l'uguaglianza $<=>$ $f$ ha segno costante.
(vorrei provare direttamente l'enunciato finale, che li implicherà tutti)
Se la funzione ha valori complessi,
vale l'uguaglianza $<=>$ $EE \alpha in CC EE g \text{ "una funzione" } t.c. AA z in C: f(z)=e^(i\alpha)g(z), g(z)>0$ (ove "una funzione" assume le ipotesi che servono).
Se la funzione ha valori in $RR^n$,
Vale l'uguaglianza $<=>$ $EE \alpha in RR^n EE g \text{ "una funzione" } t.c. AA x in RR^n: f(x)=\alpha g(x), g(x)>0$.
Ho pensato ad una dimostrazione, mi mancano ancora alcuni dettagli e quindi non la pubblico, ma direi che dovrebbe essere valida anche in un generico Hilbert (complesso).
Credo abbastanza alla verità di quest'ultima, perchè tutto sommato "si vede".
Ho provato il caso complesso, però vorrei vedere se si riesce a provare quest'ultimo.
E "a valori in un Banach"? Qui non ho proprio idee..
Risposte
Secondo me basta vedere bene come si dimostra la disuguaglianza per capire quando vale l'uguaglianza. Vediamo di essere un po' più precisi.
Ricordiamo come si dimostra la disuguaglianza triangolare (tratto da Rudin, pag.26):
Proposizione Sia [tex](X, \mu)[/tex] uno spazio di misura e sia [tex]f \in L^1(X; \mathbb{C})[/tex]. Allora
[tex]$\left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert \le \int_X \lvert f(x) \rvert\, d\mu[/tex]
Dimostrazione Sia [tex]\alpha \in \mathbb{C}[/tex] di modulo unitario e tale che
[tex]$\alpha \int_Xf(x)\, dx=\left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right \rvert[/tex] ("segno complesso")
Allora
[tex]$ \left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert= \int_X \alpha f(x)\, d\mu=\int_X \Re e(\alpha f) \, d\mu[/tex];
l'ultima uguaglianza sussiste perché [tex]\int \alpha f\, d\mu[/tex] deve essere reale. Siccome [tex]\lvert \alpha \rvert=1[/tex], è [tex]\Re e(\alpha f) \le \lvert f \rvert[/tex] ovunque: consegue che
[tex]$ \left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert\le \int_X \lvert f(x) \rvert\, d\mu[/tex]. ////
Adesso tu vuoi caratterizzare il caso di uguaglianza. Nella dimostrazione appena fatta abbiamo usato una disuguaglianza solo in un punto, questa:
[tex]$\Re e(\alpha f) \le \lvert f \rvert[/tex] (1)
quindi il caso di uguaglianza nella disuguaglianza triangolare coincide con il caso di uguaglianza nella (1). Vogliamo farla proprio precisa?
Proposizione Nelle ipotesi precedenti supponiamo che
[tex]$ \left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert=\int_X \lvert f(x) \rvert\, d\mu[/tex]. (2)
Allora, detto [tex]\alpha[/tex] il segno complesso di [tex]\int_X f\, d\mu[/tex], vale la relazione
[tex]$\Re e (\alpha f) = \lvert f \rvert[/tex] (3)
[tex]\mu[/tex]-quasi ovunque. In particolare, se [tex]f[/tex] è a valori reali,
[tex]$f \signum\left(\int_X f\, d\mu\right)=\lvert f \rvert[/tex]
ovvero, [tex]f[/tex] ha segno costante su quasi ogni punto di [tex]X[/tex].
Dimostrazione: La dimostrazione l'abbiamo già fatta, praticamente. Se vale la (2) risulta che
[tex]$ \int_X\big( \lvert f \rvert - \Re e(\alpha f) \big) \, d\mu=0[/tex],
ed essendo [tex]\lvert f \rvert - \Re e (\alpha f) \ge 0[/tex] concludiamo che [tex]$\lvert f \rvert = \Re e (\alpha f)[/tex] [tex]\mu[/tex]-quasi ovunque. ////
Poi se vuoi generalizzare a nozioni di integrale più sofisticate, per funzioni a valori in spazi di Hilbert o di Banach ([size=75](*)[/size]), io non ti so aiutare, purtroppo. Sono argomenti che non conosco.
_________________
(*) E' da parecchio che volevo dirtelo ma non trovavo mai l'occasione: ma a te piace proprio omettere la scrittura "spazio di"?
E' una cosa che trovo terribilmente antiestetica. Per esempio, quando dici "sia dato un metrico" mi fanno proprio male le orecchie! 
Ti costa tanto dire: "sia dato uno spazio metrico"?
Ricordiamo come si dimostra la disuguaglianza triangolare (tratto da Rudin, pag.26):
Proposizione Sia [tex](X, \mu)[/tex] uno spazio di misura e sia [tex]f \in L^1(X; \mathbb{C})[/tex]. Allora
[tex]$\left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert \le \int_X \lvert f(x) \rvert\, d\mu[/tex]
Dimostrazione Sia [tex]\alpha \in \mathbb{C}[/tex] di modulo unitario e tale che
[tex]$\alpha \int_Xf(x)\, dx=\left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right \rvert[/tex] ("segno complesso")
Allora
[tex]$ \left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert= \int_X \alpha f(x)\, d\mu=\int_X \Re e(\alpha f) \, d\mu[/tex];
l'ultima uguaglianza sussiste perché [tex]\int \alpha f\, d\mu[/tex] deve essere reale. Siccome [tex]\lvert \alpha \rvert=1[/tex], è [tex]\Re e(\alpha f) \le \lvert f \rvert[/tex] ovunque: consegue che
[tex]$ \left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert\le \int_X \lvert f(x) \rvert\, d\mu[/tex]. ////
Adesso tu vuoi caratterizzare il caso di uguaglianza. Nella dimostrazione appena fatta abbiamo usato una disuguaglianza solo in un punto, questa:
[tex]$\Re e(\alpha f) \le \lvert f \rvert[/tex] (1)
quindi il caso di uguaglianza nella disuguaglianza triangolare coincide con il caso di uguaglianza nella (1). Vogliamo farla proprio precisa?
Proposizione Nelle ipotesi precedenti supponiamo che
[tex]$ \left\lvert \int_X f(x)\, d\mu \right\rvert=\int_X \lvert f(x) \rvert\, d\mu[/tex]. (2)
Allora, detto [tex]\alpha[/tex] il segno complesso di [tex]\int_X f\, d\mu[/tex], vale la relazione
[tex]$\Re e (\alpha f) = \lvert f \rvert[/tex] (3)
[tex]\mu[/tex]-quasi ovunque. In particolare, se [tex]f[/tex] è a valori reali,
[tex]$f \signum\left(\int_X f\, d\mu\right)=\lvert f \rvert[/tex]
ovvero, [tex]f[/tex] ha segno costante su quasi ogni punto di [tex]X[/tex].
Dimostrazione: La dimostrazione l'abbiamo già fatta, praticamente. Se vale la (2) risulta che
[tex]$ \int_X\big( \lvert f \rvert - \Re e(\alpha f) \big) \, d\mu=0[/tex],
ed essendo [tex]\lvert f \rvert - \Re e (\alpha f) \ge 0[/tex] concludiamo che [tex]$\lvert f \rvert = \Re e (\alpha f)[/tex] [tex]\mu[/tex]-quasi ovunque. ////
Poi se vuoi generalizzare a nozioni di integrale più sofisticate, per funzioni a valori in spazi di Hilbert o di Banach ([size=75](*)[/size]), io non ti so aiutare, purtroppo. Sono argomenti che non conosco.
_________________
(*) E' da parecchio che volevo dirtelo ma non trovavo mai l'occasione: ma a te piace proprio omettere la scrittura "spazio di"?
E' una cosa che trovo terribilmente antiestetica. Per esempio, quando dici "sia dato un metrico" mi fanno proprio male le orecchie! Ti costa tanto dire: "sia dato uno spazio metrico"?
Supponiamo di avere una funzione fortemente misurabile $f:X\to E$, con $E$ spazio di Banach.
Supponiamo inoltre che $f\in L^1(\mu, E)$; per il teorema di Bochner questo equivale a richiedere che [tex]\|f\| \in L^1(\mu, \mathbb{R})[/tex].
Infine, supponiamo che
[tex]\|\int_X f(x) d\mu\| = \int_X \|f(x)\| d\mu[/tex].
Sia [tex]u\in E^*[/tex] tale che [tex]||u|| = 1[/tex] e [tex]\|\int_X f(x) d\mu\| = \langle u, \int_X f(x) d\mu\rangle[/tex].
Abbiamo dunque che
[tex]\|\int_X f(x) d\mu\| = \langle u, \int_X f(x) d\mu\rangle = \int_X \langle u, f(x)\rangle d\mu = \int_X \|f(x)\| d\mu[/tex].
Dal momento che [tex]\|u\| = 1[/tex], deduciamo che
[tex]0\le \int_X ( \|f(x)\| - \langle u, f(x)\rangle) d\mu = 0[/tex],
e dunque [tex]\|f(x)\| = \langle u, f(x)\rangle[/tex] per $\mu$-quasi ogni $x\in X$.
Supponiamo inoltre che $f\in L^1(\mu, E)$; per il teorema di Bochner questo equivale a richiedere che [tex]\|f\| \in L^1(\mu, \mathbb{R})[/tex].
Infine, supponiamo che
[tex]\|\int_X f(x) d\mu\| = \int_X \|f(x)\| d\mu[/tex].
Sia [tex]u\in E^*[/tex] tale che [tex]||u|| = 1[/tex] e [tex]\|\int_X f(x) d\mu\| = \langle u, \int_X f(x) d\mu\rangle[/tex].
Abbiamo dunque che
[tex]\|\int_X f(x) d\mu\| = \langle u, \int_X f(x) d\mu\rangle = \int_X \langle u, f(x)\rangle d\mu = \int_X \|f(x)\| d\mu[/tex].
Dal momento che [tex]\|u\| = 1[/tex], deduciamo che
[tex]0\le \int_X ( \|f(x)\| - \langle u, f(x)\rangle) d\mu = 0[/tex],
e dunque [tex]\|f(x)\| = \langle u, f(x)\rangle[/tex] per $\mu$-quasi ogni $x\in X$.
"Gaal Dornick":
Ho provato il caso complesso, però vorrei vedere se si riesce a provare quest'ultimo.
Esattamente la dimostrazione di Dissonance.
In particolare tu (Dissonance) dici che l'uguaglianza vale [tex]<=> \Re e (\alpha f) = \lvert f \rvert[/tex], cioè
[tex]\Re e (f \frac{\lvert \int f \rvert }{\int f}) = \lvert f \rvert[/tex], cioè [tex]\Re e (\frac{f}{\int f}) = \lvert \frac{f}{\int f} \rvert[/tex],
cioè la funzione [tex]\frac{f}{\int f}[/tex] ha solo parte reale, e questa è positiva. Insomma esiste una funzione positiva [tex]g\geq0[/tex] (nel mio primo post ho messo "$>$", sbagliando) tale che [tex]f=(\int f )g[/tex]. Questo è stato quello che mi ha imbeccato per le elucubrazioni successive.
Il problema è che non so niente se non folklore dell'integrazione di una funzione a valori in uno spazio di Banach.
Stavo abbozzando la dimostrazione di Rigel, però su $RR^n$,e quindi su uno sp. di Hilbert, con il prodotto scalare al posto del prodotto di dualità, però non era chiara come la tua (Rigel).
Ad esempio non conosco il teorema di Bochner: l'ho trovato sul Rudin (Functional Analysis), però dovrò perderci un po' di tempo su..
Quindi con la tua (Rigel) dimostrazione si "vede" quello che dicevo, fino agli Hilbert. C'è un modo di "vederla" in un Banach?
Non so se ha senso questa mia domanda, ma ultimamente ho sempre paura di studiare qualcosa, dare l'esame, predere un buon voto.. e comunque non "vederla", non capirla.
[OT] Bah, molto più pratico dire direttamente metrico. Se potessi, senza rendere incomprensibile quello che dico, eliminare anche le preposizioni e la punteggiatura, lo farei!
[\OT]
[OT] Allora su questo non siamo proprio d'accordo . Io invece cerco di limitare il più possibile l'uso delle formule e dei simboli, sostituendoli sempre (ove possibile senza lungaggini inutili) con particelle discorsive. Questo è un suggerimento che ho trovato sul testo di Halmos How to write mathematics, paragrafo 15 "Resist symbols":
Pretend that you are explaining the subject to a friend on long walk in the woods, with no paper available; fall back on symbolism only when it is really necessary.Comunque, ognuno ha il suo stile.[/OT]
"Gaal Dornick":
Quindi con la tua (Rigel) dimostrazione si "vede" quello che dicevo, fino agli Hilbert. C'è un modo di "vederla" in un Banach?
Si "vede" esattamente allo stesso modo.
L'unica differenza è che in uno spazio di Banach non puoi identificare il duale con lo spazio stesso, quindi ti devi tenere i funzionali lineari continui.
Il funzionale [tex]u\in E^{\ast}[/tex] ha esattamente il ruolo dell'$\alpha$ di dissonance.
Molto bene. Grazie a tutti per la chiacchierata.
Ma come mai non l'ho trovato da nessuna parte? E' ovvio?
[OT] Wow, ma quanti ce ne sono di "How.." di Halmos?
Mandami un link, così me lo leggo!
Io invece te ne mando un'altro, di un altro tipo. Il prof. di Analisi Funzionale a Perugia era fissato con questo.
[\OT]
Ma come mai non l'ho trovato da nessuna parte? E' ovvio?
[OT] Wow, ma quanti ce ne sono di "How.." di Halmos?
Mandami un link, così me lo leggo!
Io invece te ne mando un'altro, di un altro tipo. Il prof. di Analisi Funzionale a Perugia era fissato con questo.
[\OT]
Mi sembra che ciò che serve per capire l'integrazione in spazi di Banach si possa trovare qui:
http://www.worldscibooks.com/etextbook/ ... _chap1.pdf
http://www.worldscibooks.com/etextbook/ ... _chap1.pdf
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