Trovare radici modulo i primi

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Trovare un polinomio [tex]P(x)[/tex] a coefficienti interi senza radici intere ma tale che per ogni primo [tex]p[/tex] il polinomio ridotto modulo [tex]p[/tex] ammetta radici in [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex].

Domanda bonus: trovare un polinomio con le caratteristiche esposte il cui gruppo di Galois su [tex]\mathbb{Q}[/tex] sia [tex]S_3[/tex].

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Questo è un esercizio ispirato dalla lettura dell'articolo "Polynomials with roots modulo every integer" di Daniel Berend e Yuri Bilu, in cui si può trovare la soluzione ai quesiti che ho posto.

[j18eos]

Ok!

Ora ci siamo, volendo aggiungere qualche ipotesi potrebbe uscirne un problema interessante.

Grazie dell'interessamento Paolo90.

[blackbishop13]

"Paolo90":black, scusa, che cosa intendi di preciso quando dici $k$ è una classe di $ZZ_p$? Non capisco come puoi affermare che di sicuro esiste una classe in $ZZ_p$ che annulla uno di quei due polinomi (a secondo che $p=4k+1$ o $p=4k+3$).

prendi [tex]P(x)=4x+1[/tex] sia inoltre [tex]p=4k+1[/tex]. allora sarà [tex]P(k)=4k+1=p[/tex]
che in [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] sarà chiaramente [tex]0[/tex]

"Paolo90":Due domande:
1) tu affermi che ogni classe è composta da due elementi [tex]\bar{a}=\left\{a,-a\right\}[/tex] e sono d'accordo. Mi domando però: perchè non si poteva dedurre subito da $x^4=y^4 <=>x=+-y$? Probabilmente qui commetto un errore grossolano dovuto alle mie scarse conoscenze sui gruppi... ma perchè non fila il mio ragionamento?
2) non capisco come arrivi a costruire il polinomio... ma credo che, una volta capito come mai funzionano i polinomi $4x+3$ e $4x+1$ nel caso delle radici intere, mi sarà chiaro anche questo punto.

1. sono d'accordo con te, e anzi visto che poi come suggerisce Martino usiamo il morfismo [tex]x \mapsto x^2[/tex] è evidente che il Ker è quello, ma mi serve esplicitare il morfismo per poi usare l'isomorfismo tra immagine e gruppo quoziente. era solo per essere un po' più chiaro.
2. in questi giorni sono stato lontano dal forum e da internet e mi è proprio venuto in mente che quello che sottolinei tu è un punto debole della dimostrazione. ovvero in cui ho "elegantemente glissato" perchè le cose non mi erano chiare al 100%. metto un file dove c'è tutto il mio tentativo di soluzione di questo esercizio.
http://www.mediafire.com/?llfzn1rst5sji68

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"Paolo90":perchè non si poteva dedurre subito da $x^4=y^4 <=>x=+-y$?

Non sono sicuro di capire cosa intendi, ma per esempio in [tex]\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[/tex] si ha [tex]1^4=2^4[/tex] e [tex]2 \neq -1[/tex]. La doppia implicazione [tex]x^4=y^4 \Leftrightarrow x= \pm y[/tex] vale (se e) solo se p e' congruo a 3 modulo 4.

[Lord K]

"Martino":....

[tex](x^3-19)(x^2+x+1)[/tex]

il polinomio di secondo grado è comprensibile sia utilizzato, infatti è irriducibile ogni qual volta [tex]p=4k+1[/tex], credo che il polinomio di 3° non sia un cubo (o scomponibile) solo nei casi [tex]p=4k+3[/tex]. Sto indagando in merito