Trovare le funzioni adatte
ciao a tutti, devo trovare un esempio di funzione f assolutamente continua e una funzione g \alpha holderiana con \alpha \in (0,1) tale che la composizione g f non sia assolutamnete continua. qualcuno mi dia una mano sono due giorni che ci provo. grazie
Risposte
Un'idea un po' al volo potrebbe essere questa.
Mettiamoci in $[0,1]$ per comodità e consideriamo una successione strettamente crescente $(x_n)_n$ t.c. $x_0=0$ e $x_n\to 1$. Costruiamo ora tanti rettangolini aventi la base di lunghezza $\frac{x_{n}}{2}$ e altezza in modo tale che abbiano area ad esempio $\pm 1/(n+1)^2$.
Più formalmente, consideriamo la funzione definita da
\[
h(x)=\begin{cases}
\frac{1}{(\frac{x_{n}}{2}-x_{n-1})(n+1)^2} & x \in \left (x_{n-1},\frac{x_n}{2}\right) \\
\frac{1}{(\frac{x_{n}}{2}-x_{n-1})(n+1)^2} & x \in \left(\frac{x_n}{2}, x_n\right) \\
\end{cases}
\]
che dovrebbe essere una specie di seno discreto, "a gradini" che però decresce (ho provato a fare un disegno con avg ma niente da fare... prova a farti uno schizzo). Ho scelto $1/n^2$ per questo motivo: è semplice vedere che $h \in L^1([0,1])$ (perché la serie armonica generalizzata di esponente 2 converge) e quindi, per noti fatti, la sua primitiva $f(x) = \int_0^x h$ è AC.
Ora prendiamo ovviamente come \(g: x \mapsto \sqrt{x}\) che è holderiana e consideriamo $v:=gf=\sqrt f$: l'idea è che $v$ non è AC perché non è nemmeno BV. Infatti prendendo come partizione di [0,1] esattamente quella data dagli $x_n$ e dagli $\frac{x_n}{2}$ si ha che
\[
v(x_n) = \sqrt{f(x_n)} = \sqrt{\int_0^{x_n} h} = 0
\]
mentre
\[
v\left(\frac{x_n}{2}\right) = \sqrt{f \left (\frac{x_n}{2}\right )} = \frac{1}{2n}
\]
da cui
\[
TV(\sqrt{f}) \ge \sum_{n} \vert v(x_n)-v(x_{n-1}) \vert = \sum_{n} \frac{1}{2n}
\]
che non converge.
Non garantisco che sia tutto corretto, prova a vedere se ti torna o se riesci ad usare l'idea...
Mettiamoci in $[0,1]$ per comodità e consideriamo una successione strettamente crescente $(x_n)_n$ t.c. $x_0=0$ e $x_n\to 1$. Costruiamo ora tanti rettangolini aventi la base di lunghezza $\frac{x_{n}}{2}$ e altezza in modo tale che abbiano area ad esempio $\pm 1/(n+1)^2$.
Più formalmente, consideriamo la funzione definita da
\[
h(x)=\begin{cases}
\frac{1}{(\frac{x_{n}}{2}-x_{n-1})(n+1)^2} & x \in \left (x_{n-1},\frac{x_n}{2}\right) \\
\frac{1}{(\frac{x_{n}}{2}-x_{n-1})(n+1)^2} & x \in \left(\frac{x_n}{2}, x_n\right) \\
\end{cases}
\]
che dovrebbe essere una specie di seno discreto, "a gradini" che però decresce (ho provato a fare un disegno con avg ma niente da fare... prova a farti uno schizzo). Ho scelto $1/n^2$ per questo motivo: è semplice vedere che $h \in L^1([0,1])$ (perché la serie armonica generalizzata di esponente 2 converge) e quindi, per noti fatti, la sua primitiva $f(x) = \int_0^x h$ è AC.
Ora prendiamo ovviamente come \(g: x \mapsto \sqrt{x}\) che è holderiana e consideriamo $v:=gf=\sqrt f$: l'idea è che $v$ non è AC perché non è nemmeno BV. Infatti prendendo come partizione di [0,1] esattamente quella data dagli $x_n$ e dagli $\frac{x_n}{2}$ si ha che
\[
v(x_n) = \sqrt{f(x_n)} = \sqrt{\int_0^{x_n} h} = 0
\]
mentre
\[
v\left(\frac{x_n}{2}\right) = \sqrt{f \left (\frac{x_n}{2}\right )} = \frac{1}{2n}
\]
da cui
\[
TV(\sqrt{f}) \ge \sum_{n} \vert v(x_n)-v(x_{n-1}) \vert = \sum_{n} \frac{1}{2n}
\]
che non converge.
Non garantisco che sia tutto corretto, prova a vedere se ti torna o se riesci ad usare l'idea...
Grazie, ricontrollerò con calma il tutto!!
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