Trovare il minimo

[dan952]

Trovare il minimo della quantità $\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ con le seguenti condizioni $a,b,c \geq 0$ e $a+b+c=1$.

[xXStephXx]

$a$ e $c$ conviene siano grandi, mentre $b$ conviene sia piccolo. Quindi sicuramente $b=0$.
Per media aritmetica $>=$ media armonica si ottiene:
$(1/(1+a)+1/(1+c))/2 >= 2/(1+a+1+c)$ ovvero $1/(1+a)+1/(1+c) >= 4/3$ da cui $1/(1+a)-1/(1+b)+1/(1+c) >= 1/3$. Il minimo si ottiene con $a=c=1/2$ e $b=0$.

[Erasmus_First]

"dan95":Trovare il minimo della quantità $\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$ con le seguenti condizioni $a,b,c \geq 0$ e $a+b+c=1$.

Siccome l'addendo $–1/(1+b)$ è negativo, esso cala al crescere in valore assoluto, e il suo minimo è $–1$ per $b = 0$.
Allora deve essere a + c = 1. Posso perciò prendere a = 1/2 + x e c = 1/2 – x ottenendo:
$1/(1+a) – 1/(1+b) + 1/(1+c) = 1/(1,5 +x) + 1/(1,5 -x) – 1 = –1 + 3/(2,25 – x^2)$
il cui minimo è senz'altro in x =0 e quindi vale –1 + 4/3 = 1/3.

Ciao ciao