Trovare i valori di K per cui è risolvibile - SNS 1961

[elios2]

Questo è il testo dell'esercizio, che io ho risolto, e di cui però non riesco a completare l'ultima parte.

"Determinare un punto P esterno ad una circonferenza data di centro O e raggio r, tale che la differenza fra la distanza OP e la lunghezza di uno dei due segmenti tangenti condotti da P alla circonferenza abbia valore assegnato K. Dire per quali valori di K il problema è risolubile."

Quello che ho fatto è: ho posto il sistema di riferimento con origine nel centro della circonferenza e con asse x passante per P, così da avere il punto $P(h,0)$. Chiamo il punto di tangenza con la circonferenza $C$, che è dato dalla risoluzione del sistema:
$y=m(x-h)$
$x^2+y^2=r^2$,
imponendo il delta uguale a zero. Ottengo $m=+-sqrt[(r^2)/(h^2-r^2)]$.
Calcolando il $-b/(2a)$ dell'equazione risolvente, trovo l'ascissa della soluzione del sistema, cioè l'ascissa di $C$.
$x_C=(m^2)/(1+m^2)*h = r^2/h$
$y_C=m(x_C-h)=r/h*sqrt(h^2-r^2)$
So che $OP=|h|$, e calcolo $PC=sqrt[(r^2/h-h)^2 + (r/h*sqrt(h^2-r^2))^2]=sqrt(h^2-r^2)$
Imposto la condizione richiesta
$OP-PC=K$
$|h|-sqrt(h^2-r^2)=K$
da cui $h=(K^2+r^2)/(2*K)$
Il punto P che gode della proprietà richiesta deve distare dal centro della circonferenza una distanza pari a $(K^2+r^2)/(2*K)$, con $K$ assegnato.

Non riesco però a trovare dei limiti possibili per $K$, se non, ovviamente, $K>0$ (anche solo per definizione). Non riesco a trovarli soprattutto perché guardo l'espressione finale con $K$.. Dovrei guardare altre parti del procedimento?

[giammaria2]

Intanto suggerisco di non usare la geometria analitica: il triangolo OPC è rettangolo, quindi ricavi subito il valore di PC e l'equazione $h-k=\sqrt(h^2-r^2)$. Questa ti fornisce una prima limitazione su k: i due membri devono avere lo stesso segno, quindi $k \le h$. Hai già trovato $k>0 $; un'altra limitazione potrebbe venire da h > r (perchè P è esterno alla circonferenza), ma questa risulta sempre verificata.
Non metto h in valore assoluto perchè con questa lettera indico la lunghezza di OP; puoi evitare il valore assoluto anche con la geometria analitica, con semplice accorgimento di iniziare scrivendo che scegli gli assi in modo che per P passi il semiasse x positivo.

[elios2]

Grazie.
Quindi il limite finale dovrebbe essere: $0 ps: non ho idea di perché io abbia usato la geometria analitica effettivamente..

[adaBTTLS1]

io ho trovato tre cose, non le ho scritte qualche giorno fa perché mi sembravano incomplete e poi non ho avuto tempo di tornarci su.
siccome però mi sembrano più restrittive di quanto avete trovato, provo a postarle.
1. disuguaglianza triangolare: $k 2. consideriamo di tracciare un arco di circonferenza di centro P e raggio PT, dove T è un punto di tangenza. se chiamiamo H la pèroiezione di T su OP ed L il punto d'intersezione tra l'arco di circonferenza di centro P ed OP, $L in OH$. dunque dal primo teorema di Euclide, $r^2=OH*OP ->OH=(r^2)/h$
poiché $L in OH$, $k=OLk<(r^2)/h$
3. da $k=OL=OP-LP=OP-PT$, moltiplicando membro a membro per $OP+PT$ si ha:
$k*(OP+PT)=OP^2-PT^2=OT^2=r^2 -> k=(r^2)/(OP+PT)$ che conferma quello precedente...
anche se incompleto, vedi se può esserti utile. ciao.

[Erasmus_First]

"elios":«Determinare un punto P esterno ad una circonferenza data di centro O e raggio r, tale che la differenza fra la distanza OP e la lunghezza di uno dei due segmenti tangenti condotti da P alla circonferenza abbia valore assegnato k. Dire per quali valori di k il problema è risolubile.»

Mi pare che il linguaggio non sia molto appropriatro.
In particolare:
a) Con OP di solito si indica la retta per O e per P. Invece di dre "la distanza [OP " i si dica allora "la distanza di P da O".
b) Per un punto esterno ad cerchio non si conduce "un segmento tangente" alla sua circonferenza, bensì "una retta (o una semiretta) tangente" alla sua circonferenza (in un certo punto T).
Perdonatemi la pignoleria. Riscrivo il testo a modo mio!
«Sia P un punto esterno al cerchio Γ di centro O e di assegnato raggio r. Tracciata per P una delle due rette tangenti alla circonferenza di Γ, sia T il punto di tangenza.
Si dicano:
• d la distanza di P da O;
• p la distanza di P da T.;
• k la differenza d – p.
(1) Si esprima d in funzione di k e (2) si determini il dominio di tale funzione.

Senza fare alcun calcolo, si rileva di colpo che il triangolo PTO è rettangolo in T, che quindi d è la lunghezza dell'ipotenusa mentre le lunghezze dei cateti sono p ed r. Al variare di P varia la lunghezza d dell'ipotenusa e quella p di un cateto, ma non varia la lunghezza r dell'altro cateto.
E' ben nota la "disuguaglianza triangolare" secondo la quale la somma di due lati è sempre maggiore del terzo o, equivalentemente, la differenza tra due lati è sempre minore del terzo. Nel nostro caso ciò significa $k < r$.
[Infatti, per P esterno a Γ si ha sempre comunque $d > r$ ∧ $0 < k< r$.]

In base al teotrema di Pitagora abbiamo:
• $p^2 = d^2 - r^2$.
Allora:
• $k = d – p$ ⇒ $d - sqrt(d^2 - r^2) = k$ ⇒ $(d - k)^2= d^2 - r^2$ ⇔$2kd = r^2 + k^2$ ⇒ $d=(r^2 + k^2)/(2k)$
Le risposte sono pertanto:
(1) $d=(r^2 + k^2)/(2k)$.
(2) $0 < k < r$..

_______

[giammaria2]

Ai moderatori.
Dato che il topic è tornato in discussione, suggerisco di spostarlo in Scervelliamoci un po'.

A Erasmus_First
Dissento dalla tua obiezione a) ed ho controllato su due testi.
- sull' Enriques - Amaldi leggo "Se A, B sono due punti, dicesi segmento AB (o BA) la parte comune alle due semirette AB e BA"
- sullo Zwirner - Scaglianti - Brusamolin Mantovani trovo "Il segmento avente per estremi i punti A e B si indica con la scrittura AB o BA". Spiega poi che queste scritture possono essere usate anche per rette o semirette ed è quindi bene farle precedere dall'opportuno sostantivo (e nel testo del problema c'era il sostantivo "distanza").

Non ho cercato su altri testi ma non credo che avrei sorprese.

Per l'obiezione b) è vero che non esiste il "segmento tangente" ma basta dire "il segmento di tangente". Comunque, come tu stesso riconosci, sono pignolerie.

Buona la tua osservazione sulla diseguaglianza triangolare, a cui nessuno aveva pensato.