Trova l'errore! [moto Browniano]
Sia $B=(B_t)_{t\in[0,1]}$ un moto browniano (M.B.) reale e supponiamo che abbiamo traiettorie continue per ogni $\omega\in\Omega$.
Consideriamo la v.a. $I=\i n f{B_t : t\in [0,1]}$. Allora $I$ è un v.a. normale!
che è una v.a. discende dal fatto che $I=\i n f{B_t : t\in [0,1]\cap QQ}$
che è normale dalla definizione di inf. Infatti per Weiestrass esiste un punto $t_0\in [0,1]$ in cui l'inf è raggiunto. Dunque data una successione $t_n\to t_0$ si ha che, per la continuità che $I=B_{t_0}=\lim B_{t_n}$ e dunque, essendo $I$ il limite qc di v.a. normali è normale.
Però dal momento che il M.B. cambia segno infinite volte in ogni intono dell'origine, si ha che $P(I<0)=1$ ovvero $I$ non può essere normale!
Dove sta l'errore? (questo quesito mi ha tolto quasi un ora oggi, incontrandolo in un esercizio, la soluzione mi sembra interessante in quanto, per quanto semplice, fa riflettere su alcune cose delicate sulle quali stare attenti
)
Consideriamo la v.a. $I=\i n f{B_t : t\in [0,1]}$. Allora $I$ è un v.a. normale!
che è una v.a. discende dal fatto che $I=\i n f{B_t : t\in [0,1]\cap QQ}$
che è normale dalla definizione di inf. Infatti per Weiestrass esiste un punto $t_0\in [0,1]$ in cui l'inf è raggiunto. Dunque data una successione $t_n\to t_0$ si ha che, per la continuità che $I=B_{t_0}=\lim B_{t_n}$ e dunque, essendo $I$ il limite qc di v.a. normali è normale.
Però dal momento che il M.B. cambia segno infinite volte in ogni intono dell'origine, si ha che $P(I<0)=1$ ovvero $I$ non può essere normale!
Dove sta l'errore? (questo quesito mi ha tolto quasi un ora oggi, incontrandolo in un esercizio, la soluzione mi sembra interessante in quanto, per quanto semplice, fa riflettere su alcune cose delicate sulle quali stare attenti
)
Risposte
"fu^2":
$I=B_{t_0}=\lim B_{t_n}$ e dunque, essendo $I$ il limite qc di v.a. normali è normale.
Il imite di normali non è normale (poi questa frase non ha molto senso).
mi spiace, ma quell'affermazione è giusta.
In particolare basta che la convergenza sia in legge affinchè risulti che il limite sia normale. Nel nostro caso abbiamo addirittura una convergenza qc
In particolare basta che la convergenza sia in legge affinchè risulti che il limite sia normale. Nel nostro caso abbiamo addirittura una convergenza qc
Che [tex]$t_0$[/tex] esista è vero, ma non è detto che sia razionale!
Mi sà che ci sono errori di notazioni? Tipo [tex]$I_t$[/tex] eppoi [tex]$I$[/tex].
Mi sà che ci sono errori di notazioni? Tipo [tex]$I_t$[/tex] eppoi [tex]$I$[/tex].
e cosa c'entra che $t_0$ possa non essere razionale?
Ci sono successioni di razionali che convergono a numeri irrazionali (per esempio le troncate approssimanti $\sqrt{2}$, o no?
Comunque la successione $t_n$, se vuoi, la puoi prendere non razionale, a quel punto non cambia nulla. Prendere l'inf sui razionali e non su tutti i reali serve per mostrare che è una v.a. ben definita (essendo l'inf su una famiglia numerabile di v.a.). In ogni caso non sta lì l'errore
Ps ho corretto le notazioni che mi erano sfuggite, grazie!
Ci sono successioni di razionali che convergono a numeri irrazionali (per esempio le troncate approssimanti $\sqrt{2}$, o no?
Comunque la successione $t_n$, se vuoi, la puoi prendere non razionale, a quel punto non cambia nulla. Prendere l'inf sui razionali e non su tutti i reali serve per mostrare che è una v.a. ben definita (essendo l'inf su una famiglia numerabile di v.a.). In ogni caso non sta lì l'errore
Ps ho corretto le notazioni che mi erano sfuggite, grazie!
Ma non capisco: esistono esempi di succesioni di v.a. normali (dipendenti o indipendenti) che convergono (in legge o q.c.) a v.a. non normali.
guarda se vuoi ti posto la dimostrazione... (l'idea nel caso di dimensione uno)
Semplicemente se [tex]X_n\sim N(\mu_n, \sigma_n)[/tex] e [tex]X_n \Rightarrow X[/tex], allora si ha, dalla definizione, che [tex]E(e^{i \theta X_n})\to E(e^{i \theta X})[/tex] e dunque dal momento che
[tex]E(e^{i \theta X_n})=e^{i\theta \mu_n}e^{-\frac{\theta^2\sigma_n^2}{2}}[/tex] si riesce a ottenere la tesi, mostrando che [tex]\mu_n, \sigma_n^2[/tex] convergono.
Sia ben inteso che in questa dimostrazione (io lo davo per ovvio, ma forse non lo è) le delta di dirac sono Gaussiane, ovvero intendiamo che [tex]\delta_m=N(m,0)[/tex]. Questa definizione è consistente con le funzioni caratteristiche...
Concordi con quello che ho scritto?
Semplicemente se [tex]X_n\sim N(\mu_n, \sigma_n)[/tex] e [tex]X_n \Rightarrow X[/tex], allora si ha, dalla definizione, che [tex]E(e^{i \theta X_n})\to E(e^{i \theta X})[/tex] e dunque dal momento che
[tex]E(e^{i \theta X_n})=e^{i\theta \mu_n}e^{-\frac{\theta^2\sigma_n^2}{2}}[/tex] si riesce a ottenere la tesi, mostrando che [tex]\mu_n, \sigma_n^2[/tex] convergono.
Sia ben inteso che in questa dimostrazione (io lo davo per ovvio, ma forse non lo è) le delta di dirac sono Gaussiane, ovvero intendiamo che [tex]\delta_m=N(m,0)[/tex]. Questa definizione è consistente con le funzioni caratteristiche...
Concordi con quello che ho scritto?
Un modo per capire cosa c'è che non va è il pensare perchè invece, nelle stesse ipotesi, si ha che $Y=\int_0^{1} B_t dt$ è una v.a. normale.
Stamattina ci ho un po' riflettuto su, ecco quello che ne viene fuori.
Innanzitutto se consideri le degeneri come gaussiane mi pare che il discorso della convergenza in distribuzione fili (io infatti avevo pensato ad una cosa del tipo $X/n$); devo dire che non conoscevo questo risultato che è interessante.
Tornando al problema primario non sono giunto ad una soluzione definitiva ma ecco le considerazioni:
prima cosa $t_0$ è aletorio ed esiste in quanto stiamo lavorando con mappe continue in compatto. Non so se il fatto che $t_0$ è aleatorio possa creare qualche problema nella costruzione della successione cioè che deve essere definita con un qualcosa del tipo $t_n=t_0-h_n$ dove $h_n$ è una successione convergente a 0. Questo farebbe si che anche la successione è aleatoria.
Un po' di indizi mi spingono a ragionare su questo $I=B_{t_0}=\lim B_{t_n}$ più precisamente mi chiedo se $B_(t_n)$ sia normale: infatti (da quanto detto sopra su $t_n$) essendo $I<0$ q.c. ed il moto Browniano a mappe q.c. continue vale il teorema della permanenza del segno e quindi $B_(t_n)<0$ q.c. per ogni n sufficientemente grande.
Devo dire che l'hint che hai dato nell'ultimo post mi rimane ancora un po' oscuro. Quell'integrale lo ho visto fino ad un tempo finito ovvero $int_0^s B_t dt$ che si distribuisce come una normale di media 0 e varianza $s^3/3$; se $s=infty$ mi rimane qualche dubbio sulla sua convergenza. Forse c'è qualcosa che ignoro. Comunque tornando al problema e all'integrale non capisco in che direzione mi vuoi spingere con quello. Forse che il moto browniano è frenetico (è a variazione infinita?) ma non credo.
Fammi sapere se sono nella direzione giusta o se sono fuori strada.
Comunque come hai scritto nel primo post questo thread mi ha dato un bel po di spunti e distribuzioni su cui ragionare alcuni chiariti altri ancora oscuri; poi una volta chiarito il problema ne discutiamo insieme.
Innanzitutto se consideri le degeneri come gaussiane mi pare che il discorso della convergenza in distribuzione fili (io infatti avevo pensato ad una cosa del tipo $X/n$); devo dire che non conoscevo questo risultato che è interessante.
Tornando al problema primario non sono giunto ad una soluzione definitiva ma ecco le considerazioni:
prima cosa $t_0$ è aletorio ed esiste in quanto stiamo lavorando con mappe continue in compatto. Non so se il fatto che $t_0$ è aleatorio possa creare qualche problema nella costruzione della successione cioè che deve essere definita con un qualcosa del tipo $t_n=t_0-h_n$ dove $h_n$ è una successione convergente a 0. Questo farebbe si che anche la successione è aleatoria.
Un po' di indizi mi spingono a ragionare su questo $I=B_{t_0}=\lim B_{t_n}$ più precisamente mi chiedo se $B_(t_n)$ sia normale: infatti (da quanto detto sopra su $t_n$) essendo $I<0$ q.c. ed il moto Browniano a mappe q.c. continue vale il teorema della permanenza del segno e quindi $B_(t_n)<0$ q.c. per ogni n sufficientemente grande.
Devo dire che l'hint che hai dato nell'ultimo post mi rimane ancora un po' oscuro. Quell'integrale lo ho visto fino ad un tempo finito ovvero $int_0^s B_t dt$ che si distribuisce come una normale di media 0 e varianza $s^3/3$; se $s=infty$ mi rimane qualche dubbio sulla sua convergenza. Forse c'è qualcosa che ignoro. Comunque tornando al problema e all'integrale non capisco in che direzione mi vuoi spingere con quello. Forse che il moto browniano è frenetico (è a variazione infinita?) ma non credo.
Fammi sapere se sono nella direzione giusta o se sono fuori strada.
Comunque come hai scritto nel primo post questo thread mi ha dato un bel po di spunti e distribuzioni su cui ragionare alcuni chiariti altri ancora oscuri; poi una volta chiarito il problema ne discutiamo insieme.
"DajeForte":
prima cosa $t_0$ è aletorio ed esiste in quanto stiamo lavorando con mappe continue in compatto. Non so se il fatto che $t_0$ è aleatorio possa creare qualche problema nella costruzione della successione cioè che deve essere definita con un qualcosa del tipo $t_n=t_0-h_n$ dove $h_n$ è una successione convergente a 0. Questo farebbe si che anche la successione è aleatoria.
hai preso, è proprio qua che sta il cuore del problema!
Devo dire che l'hint che hai dato nell'ultimo post mi rimane ancora un po' oscuro. Quell'integrale lo ho visto fino ad un tempo finito ovvero $int_0^s B_t dt$ che si distribuisce come una normale di media 0 e varianza $s^3/3$; se $s=infty$ mi rimane qualche dubbio sulla sua convergenza. Forse c'è qualcosa che ignoro. Comunque tornando al problema e all'integrale non capisco in che direzione mi vuoi spingere con quello. Forse che il moto browniano è frenetico (è a variazione infinita?) ma non credo.
Fammi sapere se sono nella direzione giusta o se sono fuori strada.
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che sbadato, questo è un errore mio! il tempo è finito! ora correggo.
La direzione in cui spinge il mio suggerimento sull'integrale è "quello delle somme di Riemann" che sono una bella successione che converge (per le ipotesi fatte sul MB). E in questo caso per mostrare che quell'integrale è una normale usi il risultato che ti ho citato prima, poi con fubini calcoli media e varianza.
L'hint era di capire perchè in questo caso la successione che crei funziona, mentre nel caso precedente no.
Infatti questo si ricollega a quello che dicevo dopo che $B_(t_n)$ non è normale.
Per l'hint ora mi risulta più chiaro anche se io per lavorare con $Y$ passo per Ito visto che $Y=int_0^s(s-t)dB_t$.
A questo punto lascio questi problemi:
trovare le distribuzioni di:
i) $B_(t_0)$ (facile);
ii) $t_0$ (non molto facile; è una legge nota (nota nel senso che si conosce ma non è molto comune));
iii) $(B_t,t_0)$ per $t in (0,1]$ questa io non la ho ancora trovata;
Integrare la distribuzione in iii) (nella variabile corrispondente a $B_t$) per ottenere la distribuzione in ii).
Per l'hint ora mi risulta più chiaro anche se io per lavorare con $Y$ passo per Ito visto che $Y=int_0^s(s-t)dB_t$.
A questo punto lascio questi problemi:
trovare le distribuzioni di:
i) $B_(t_0)$ (facile);
ii) $t_0$ (non molto facile; è una legge nota (nota nel senso che si conosce ma non è molto comune));
iii) $(B_t,t_0)$ per $t in (0,1]$ questa io non la ho ancora trovata;
Integrare la distribuzione in iii) (nella variabile corrispondente a $B_t$) per ottenere la distribuzione in ii).
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