Triangolo dalle lunghezze con potenze - SNS 1975

[elios2]

"Siano dati tre numeri $a$, $b$, $c$. Supponiamo che, per ogni numero intero positivo $n$, esista un triangolo le lunghezze dei lati del quale sono $a^n$, $b^n$, $c^n$, rispettivamente. Dimostrare che tutti questi triangoli sono isosceli."

Allora, io ho cercato di ridare una formulazione a questo esercizio in questo modo: $a$,$b$,$c$ sono tali che per ogni $n$, $a^n$, $b^n$, $c^n$ rappresentano lati di un triangolo. Ciò può avvenire solo per $a=b$.
Ho iniziato a scrivere allora un po' di disuguaglianze triangolari, a partire da $n=1$. Quindi $a L'informazione che non riesco ad applicare è che $a$,$b$,$c$ sono tali che per ogni $n$, $a^n$, $b^n$, $c^n$ rappresentano lati di un triangolo. E' quell' "ogni $n$" che non so come applicare.. Forse dovrei applicare $n=1$, $n=2$, $n=3$ e così via?
Grazie dell'aiuto..

[giammaria2]

Ti do solo il mio inizio: supposto $c \ge b \ge a$ e posto p=b-a si ha $c^n>b^n-a^n$. Essendo $(a+p)^n>a^n+n*a^(n-1)p$, allora ...

[elios2]

$c^n>b^n-a^n=(a+p)^n-a^n>a^n+n*a^(n-1)*p-a^n=n*a^(n-1)*p$
quindi $c^n>n*a^(n-1)*p=n*a^n(b/a-1)$

ci penso ancora..

[corretto]

[giammaria2]

Correggi il c in $c^n$. Poi p<...
EDIT: mi accorgo di un errore e me ne scuso: L'ordine dei lati deve essere $b \ge a \ge c$. Questo rende falsa la mia affermazione seguente; non la cancello per non confondere le idee a chi l'ha già letta.
Aggiungo un'osservazione: la mia dimostrazione conclude che a=b ma non usa le relazione $c \ge b$. Il ragionamento può quindi essere fatto scambiando queste due lettere e concludendo con a=c: l'ipotesi vale solo se il triangolo è equilatero.

[elios2]

$c^n>n*a^(n-1)*p$
$p Poi ho studiato l'espressione $c^n/(n*a^(n-1))$, cercando di capire se al crescere di $n$, anche l'espressione cresceva o diminuiva.. Ho provato a vedere cosa succede se impongo che l'espressione, all'aumentare di $n$, cresca:
$c^n/(n*a^(n-1))>c^(n-1)/((n-1)*a^(n-2))$
e dopo qualche calcolo
$(c(n-1)-na)/(na^n*c(n-1))>0$, cioè $c>n/(n-1)*a$
All'aumentare di $n$ (per il limite per $n$ che tende all'infinito) $n/(n-1)$ tende ad $1$. Cioè all'aumentare di $n$ $c^n/(n*a^(n-1))$ aumenta se $c$ tende ad $a$ (ci si avvicina restandone maggiore).
Allo stesso modo se provo ad imporre che l'espressione all'aumentare di $n$ diminuisca ottengo simmetricamente:
$c^n/(n*a^(n-1)) Cioè all'aumentare di $n$ $c^n/(n*a^(n-1))$ diminuisce se $c$ tende ad $a$ (ci si avvicina restandone minore). (Qualcuno mi aiuti ad interpretare questo risultato se ha un senso!)

Comunque se considero il caso in cui $c^n/(n*a^(n-1))$ diminuisce all'aumentare di $n$, essendo $p
Mi scuso per questo ragionamento, è quello che ho partorito finora.. Ci sono sicuramente errori grossolani e terrificanti.. Intanto continuo a pensarci, grazie ancora per le dritte..

[giammaria2]

Consiglio: cerca cose più facili. Spero che tu abbia notato che ho corretto un errore e che si ha $c \le a$.

[elios2]

Sì ma non ho capito perché lo hai corretto.. Comunque la disuguaglianza triangolare iniziale si può scrivere per tutti e tre i lati..

[giammaria2]

Il motivo c'è: mi serviva così. Un altro aiuto: la mia tesi è p=0.

[elios2]

Sì. Allora ipotizzando che $c<=a$, allora $c^n/(n*a^(n-1))$ diminuisce sempre all'aumentare di $n$, mantenendosi sempre non negativo. Quindi, essendo la disequazione $p<=c^n/(n*a^(n-1))$ valida per ogni $n$, per $n$ che tende all'infinito l'espressione $c^n/(n*a^(n-1))$ tenderà a zero, e così $p$, che è sempre non negativo ($p=b-a$ con$b>=a$), tenderà a zero. $p=0$, $b-a=0$ cioè $a=b$.

[G.D.5]

Mmm... vorrei esporre un mio dubbio. Il numero $p$ tende a $0$, non fa $0$, quindi a rigore di logica non puoi porre $p=0$, o sbaglio?

[elios2]

Beh, probabilmente non sbagli, al massimo posso dire che $p$ tende a zero, e quindi $a$ "tende" a $b$ e i triangoli "tendono" ad essere isosceli..
Aspetto delucidazioni da giammaria..

[giammaria2]

Bene; la mia soluzione era anche più breve. Infatti è
$p dove l'ultima diseguaglianza vale perchè la potenza è minore o uguale a 1. Poichè p è non negativo ma minore di qualsiasi numero positivo, p è uguale a zero; il dubbio di Wizard non mi sembra giustificato, in quanto p non è un limite.

[G.D.5]

Avete posto $p:=a-b$ e avete notato che $p a-b=0 => a=b$ (o intendevi altro?): questo mi sembra sbagliato perché in questo ragionamento $0$ è il limite di $p$ e non il suo valore.
Un'altra cosa che non capisco è perché $p$ è minore di qualsivoglia numero positivo.

[giammaria2]

"WiZaRd": Un'altra cosa che non capisco è perché $p$ è minore di qualsivoglia numero positivo.

Pensa ad un qualsiasi numero positivo x; per n abbastanza grande si ha $p

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[G.D.5]

Continuo a sfuggirmi qualche cosa.
Concordo nell'affermare che $forall x in RR^+$, è possibile trovare $n in NN$ t.c. $c/n $p=b-a

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[giammaria2]

La mia dimostrazione è stata suddivisa in molti interventi; forse per questo te ne è sfuggita qualche parte. Ripeto qui tutti i calcoli; per la loro giustificazione vedi indietro. Sia $b \ge a \ge c$ e poniamo $p=b-a$. Per ipotesi sappiamo che il triangolo esiste per ogni n, quindi
$c^n \ge b^n-a^n=(a+p)^n-a^n\gea^n+na^(n-1)p-a^n=na^(n-1)p$
e quindi
$p \lec^n/(na^(n-1))=c/n*(c/a)^(n-1) \le c/n$
Il tuo esempio non regge perchè parti dall'ipotesi che esiste il triangolo di lati 3, 4, 5: l'ipotesi data è invece che il triangolo di lati $a^n, b^n, c^n$ esiste per ogni n e tu stesso noti giustamente che il tuo esempio non la soddisfa.

[elios2]

Grazie mille giammaria, sei stato chiarissimo.

[elios2]

Adesso mi è sorta una domanda, giusto per puntualizzare. Dato che la dimostrazione che abbiamo fatto ci porta ad ottenere $a=b$, con $c<=a$, questi triangoli sono tutti triangoli isosceli acutangoli?

[giammaria2]

Non ci avevo pensato, ma seguendo il tuo ragionamento direi proprio di sì.

[G.D.5]

Ok. Rivisto tutto assieme ci sono.
Thanks so much!