Triangolo dal perimetro massimo
"Siano dati una circonferenza C e un punto P distinto dal centro. Sia PAB un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in P e i rimanenti due su C, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici A e B passano per il centro di C"
Questo è il testo del problema. Io ho provato a risolvere questa dimostrazione e, in particolare, sono partita dalla fine, per cercare di capire che tipo di triangolo è. Innanzitutto, se due bisettrici di un triangolo passano per un punto, questo punto è l'incentro e per esso passerà anche la terza bisettrice. In questo caso, il punto in questione è il centro della circonferenza C.
Poichè $r$ ed $s$ (le ho chiamate così) sono le bisettrici in $A$ e in $B$, $hat(BAO)=hat(OAP)$ e $hat(PBO)=hat(OBA)$. Poiché $AO=OB$, in quanto raggi della stessa circonferenza, AOB è isoscele e $hat(OAB)=hat(OBA)$. Ciò implica che $hat(OAB)=hat(OBA)=hat(OBP)=hat(OAP)$. Essendo l'angolo in $hat(A)=hat(BAO)+hat(OAP)$ e l'angolo in $hat(B)=hat(PBO)+hat(OBA)$, allora $hat(BAP)=hat(PBA)$. Cioè, il triangolo ABP è isoscele.
Tutto questo mi porta a dire che il triangolo descritto dal testo del problema, cioè il triangolo le cui bisettrici passano per il centro della circonferenza C..., è un triangolo isoscele, avente per base una corda della circonferenza (escluso il diametro). Ma tale triangolo PAB doveva essere costruito a partire dal perimetro..
Come faccio a dimostrare che il triangolo PAB avente un vertice in P e i rimanenti due sulla circonferenza avente perimetro massimo, è un triangolo isoscele che ha come base una corda della circonferenza? Perché, una volta dimostrato ciò, posso fare la dimostrazione richiesta esattamente all'incontrario di quella che ho fatto finora, sempre che tutto ciò che ho detto finora sia giusto...
GRAZIE!
Questo è il testo del problema. Io ho provato a risolvere questa dimostrazione e, in particolare, sono partita dalla fine, per cercare di capire che tipo di triangolo è. Innanzitutto, se due bisettrici di un triangolo passano per un punto, questo punto è l'incentro e per esso passerà anche la terza bisettrice. In questo caso, il punto in questione è il centro della circonferenza C.
Poichè $r$ ed $s$ (le ho chiamate così) sono le bisettrici in $A$ e in $B$, $hat(BAO)=hat(OAP)$ e $hat(PBO)=hat(OBA)$. Poiché $AO=OB$, in quanto raggi della stessa circonferenza, AOB è isoscele e $hat(OAB)=hat(OBA)$. Ciò implica che $hat(OAB)=hat(OBA)=hat(OBP)=hat(OAP)$. Essendo l'angolo in $hat(A)=hat(BAO)+hat(OAP)$ e l'angolo in $hat(B)=hat(PBO)+hat(OBA)$, allora $hat(BAP)=hat(PBA)$. Cioè, il triangolo ABP è isoscele.
Tutto questo mi porta a dire che il triangolo descritto dal testo del problema, cioè il triangolo le cui bisettrici passano per il centro della circonferenza C..., è un triangolo isoscele, avente per base una corda della circonferenza (escluso il diametro). Ma tale triangolo PAB doveva essere costruito a partire dal perimetro..
Come faccio a dimostrare che il triangolo PAB avente un vertice in P e i rimanenti due sulla circonferenza avente perimetro massimo, è un triangolo isoscele che ha come base una corda della circonferenza? Perché, una volta dimostrato ciò, posso fare la dimostrazione richiesta esattamente all'incontrario di quella che ho fatto finora, sempre che tutto ciò che ho detto finora sia giusto...
GRAZIE!
Risposte
Sì. Esatto.
Riapro questo argomento per riferire la mia soluzione: forse non è molto rigorosa, ma ha il pregio della rapidità ed è diversa da quella riportata.
Fissato in qualsiasi modo il punto B, cerco la posizione di A che rende massimo il perimetro.
Comincio col trovare A in modo che il perimetro abbia un qualsiasi valore assegnato $p$ : poiché PB è noto, il luogo dei punti A è dato dalla condizione $PA+AB=p-PB=costante$, cioè è l'ellisse di fuochi P e B ed asse maggiore $p-PB$; A è un'intersezione fra questa ellisse e la circonferenza.
All'aumentare del perimetro, l'ellisse si ingrandisce e, per perimetri molto grandi, non interseca più la circonferenza; con il massimo perimetro possibile siamo nella condizione che separa intersezione e non-intersezione, cioè ellisse e circonferenza sono tangenti. In caso di tangenza, le normali alle due curve coincidono e sappiamo che la normale ad una circonferenza passa per il centro e che la normale ad un'ellisse è bisettrice fra le congiungenti con i fuochi: ne consegue che la tesi è verificata in A. Fissato ora A, trovo B con lo stesso ragionamento.
Fissato in qualsiasi modo il punto B, cerco la posizione di A che rende massimo il perimetro.
Comincio col trovare A in modo che il perimetro abbia un qualsiasi valore assegnato $p$ : poiché PB è noto, il luogo dei punti A è dato dalla condizione $PA+AB=p-PB=costante$, cioè è l'ellisse di fuochi P e B ed asse maggiore $p-PB$; A è un'intersezione fra questa ellisse e la circonferenza.
All'aumentare del perimetro, l'ellisse si ingrandisce e, per perimetri molto grandi, non interseca più la circonferenza; con il massimo perimetro possibile siamo nella condizione che separa intersezione e non-intersezione, cioè ellisse e circonferenza sono tangenti. In caso di tangenza, le normali alle due curve coincidono e sappiamo che la normale ad una circonferenza passa per il centro e che la normale ad un'ellisse è bisettrice fra le congiungenti con i fuochi: ne consegue che la tesi è verificata in A. Fissato ora A, trovo B con lo stesso ragionamento.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo