Triangoli e volume (SISSA, LM12-3)
Ciao a tutti! Ho un dubbio stupido su un esercizio per l'ammissione in SISSA al IV anno (se mi consentite, non userò LaTeX perchè è davvero facile da spiegare).
Sostanzialmente, ho tre punti a un tempo t fissato:
A(t)=(t, t^3, t);
B(t)=(t, t, t);
C(t)=(0, 2t, t);
Questi tre punti formano un triangolo (potenzialmente degenere) che si muove nello spazio al variare di t. L'esercizio chiede di trovare il volume del solido generato dal triangolo per t in [0,2].
Ora, io avevo pensato a Guldino, ma leggendo sul testo di analisi della mia università faccio un po' fatica a capire come applicarlo. Se non ho capito male, dovrei trovare il modo di esprimere la velocità del centroide moltiplicata scalarmente per la normale.
Il centroide lo calcolo come baricentro del triangolo giusto? E per la normale come posso fare? Va bene fare il prod. vettoriale di AB e AC ad esempio? Ripeto, mi rendo conto della relativa semplicità della domanda, ma faccio fatica a visualizzare il tutto seguendo il procedimento del libro.
Sostanzialmente, ho tre punti a un tempo t fissato:
A(t)=(t, t^3, t);
B(t)=(t, t, t);
C(t)=(0, 2t, t);
Questi tre punti formano un triangolo (potenzialmente degenere) che si muove nello spazio al variare di t. L'esercizio chiede di trovare il volume del solido generato dal triangolo per t in [0,2].
Ora, io avevo pensato a Guldino, ma leggendo sul testo di analisi della mia università faccio un po' fatica a capire come applicarlo. Se non ho capito male, dovrei trovare il modo di esprimere la velocità del centroide moltiplicata scalarmente per la normale.
Il centroide lo calcolo come baricentro del triangolo giusto? E per la normale come posso fare? Va bene fare il prod. vettoriale di AB e AC ad esempio? Ripeto, mi rendo conto della relativa semplicità della domanda, ma faccio fatica a visualizzare il tutto seguendo il procedimento del libro.
Risposte
A mio avviso, Guldino non è applicabile. Basta 'affettare' il solido normalmente all'asse $ z $.
Ciao
PS è anche altrettanto facile aggiungere un segno di dollaro '$' prima e dopo le formule.
Ciao
PS è anche altrettanto facile aggiungere un segno di dollaro '$' prima e dopo le formule.
Avevo pensato a una cosa simile, ma mi sembrava troppo semplice -.-'
A parte questo, perchè dici che Guldino non è applicabile? Ieri avevo fatto i conti e mi veniva questa cosa:
$b(t) = (2/3t,1/3(3t+t^3),t)$ come luogo del centroide al variare di t.
$n(t)=(0,0,1)$ come normale
A questo punto devo calcolare $\int(b'(t)*n(t))*Area(t)$ e dovrebbe venire come hai detto te
A parte questo, perchè dici che Guldino non è applicabile? Ieri avevo fatto i conti e mi veniva questa cosa:
$b(t) = (2/3t,1/3(3t+t^3),t)$ come luogo del centroide al variare di t.
$n(t)=(0,0,1)$ come normale
A questo punto devo calcolare $\int(b'(t)*n(t))*Area(t)$ e dovrebbe venire come hai detto te
Esser troppo semplice non è una cosa brutta.
Per quanto concerne i t. di Guldino, io li conosco solo riferiti a figure di rivoluzione, ma sono troppo diversamente giovane per ricordare eventuali generalizzazioni a solidi qualsivoglia. Magari altri potranno chiarirci le idee.
Ciao
Per quanto concerne i t. di Guldino, io li conosco solo riferiti a figure di rivoluzione, ma sono troppo diversamente giovane per ricordare eventuali generalizzazioni a solidi qualsivoglia. Magari altri potranno chiarirci le idee.
Ciao
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