Traiettoria Ipociclica

[Ariz93]

Penso tutti sanno cosa sia un epiciclo,questo problema è molto interessante ed ha molte varianti(a mio parere).
E' stato fatto stamane al test d'ingresso alla SASS e l'ho trovato molto divertente,vi pongo qui la traccia e la mia linea generale per la soluzione che ho trovato.

Abbiamo una circonferenza tangente internamente ad un'altra chiamiamo Cr la circonferenza di raggio \(\displaystyle R \) e cr la circonferenza di raggio \(\displaystyle r \)con \(\displaystyle r Ora immaginate la circonferenza goniometrica e immaginate che la congiungente tra centro della piccola e quella grande nel punto iniziale l'angolo è 0° e poi aumenta .
a) trovare i valori di R ed r per cui partendo dal punto iniziale A appartenente al cerchio piccolo e tangente al cerchio grande,dopo un giro il punto A' ed il punto A coincidono(A' è l punto che parte da A e poi ruota col ruotare del cerchio piccolo).

b) fare la stessa cosa però cercando quei valori per cui A' ed A corrispondono dopo un Tot finito di Giri

c) Per quali valori A' ed A non saranno mai più uguali? anche dopo migliaia di giri?

posto qui una dispensa di Zia wiki ,pensate alla circonferenza nel disegno come tangente interna e non come esterna:
http://it.wikipedia.org/wiki/Epicicloide

Buon divertimento!.

ps: se c'è qualche pazzo che riesce a farlo in coordinate polari (o con la geometria euclidea o funzioni trigonometriche O.o) sarei estasiato nel'ammirare la sua dimostrazione.

pps:Posto qui la mia soluzione nascosta :

Per la a) ho pensato a valori interi di R/r per
b) razionali per
c) irrazionali o periodici

ppps: se la sezione è sbagliata chiedo agli admin di spostare il post.(l'ho spostato qui perché penso richieda un ragionamento più "colorito")

[Ariz93]

nessuno si cimenta? :S

[Sk_Anonymous]

Sia C la circonferenza di raggio R e c la circonferenza di raggio r (R>r). La c ruoti attorno al suo centro internamente alla C e trasli (senza strisciare) rispetto ad essa, rimanendo sempre tangente: allora un suo punto fisso P descrive una curva detta ipocicloide . Nella combinazione roto-traslatorio, quando il punto T ruota di un angolo \(\displaystyle \theta \) (vedi figure allegate), non essendoci strisciamento, il punto fisso P ruota su c di un angolo \(\displaystyle \phi \) tale che l'arco TE sia congruente all'arco PE [entrambi in colore rosso sulla figura], ovvero si ha :
(1) \(\displaystyle r\phi=R\theta \) da cui \(\displaystyle \phi=\frac{R}{r}\theta \)
Con calcoli elementari risulta che :
\(\displaystyle OF= (R-r)\cos\theta ,KF= (R-r)\sin\theta \)
\(\displaystyle KN=r\cos\alpha=r\sin(\phi-\theta)= r\sin(\frac{R-r}{r}\theta) \)
\(\displaystyle HF=PN=r\sin\alpha=-r\cos(\phi-\theta)=- r\cos(\frac{R-r}{r}\theta) \)
In un sistema cartesiano ortogonale, avente il centro O di C come origine e OT ( orientato da O verso T) come asse x, le coordinate \(\displaystyle x ,y \) del punto P sono date da :
\(\displaystyle x=OH=OF-HF=(R-r)\cos\theta+ r\cos(\frac{R-r}{r}\theta)\)
\(\displaystyle y=PH=NF=KF-KN= (R-r)\sin\theta - r\sin(\frac{R-r}{r}\theta)\)
E queste ultime due equazioni sono le equazioni cartesiane della ipocicloide.
In particolare per \(\displaystyle R=3r \) esse diventano così:
\(\displaystyle \begin{cases}x=r(2\cos\theta+\cos2\theta)\\y=r(2\sin\theta-\sin2\theta)\end{cases} \)
e la ipocicloide corrispondente prende il nome di "deltoide" . Quanto ai quesiti posti da Ariz93, mi pare che le sue risposte vadano bene.

[Ariz93]

Grazie per le equazioni cartesiane, l'unico dubbio che avevo era per i periodici nel quesito 3 ,nel caso per il lim del numero dei giri che tende a infinito il punto A torna in A' giusto?(per un rapporto R/r numero periodico )

[Rigel1]

Riferendosi al rapporto \(R/r\), io avrei detto:
a) intero
b) razionale
c) irrazionale
(il periodico rientra nel punto b).

[Ariz93]

"Rigel":Riferendosi al rapporto \(R/r\), io avrei detto:
a) intero
b) razionale
c) irrazionale
(il periodico rientra nel punto b).

ecco appunti , mi dimostreresti perché?(credo servano i limiti)

[Rigel1]

Non mi sembra servano i limiti.
Facciamo un esempio numerico. Se \(R/r = 10/3\), la ruota piccola compie \(10\) giri completi facendo \(3\) giri (completi) sulla ruota grande; quindi, dopo \(10\) giri, i punti \(A\) ed \(A'\) coincidono.

Più in generale: dopo \(n\) giri della ruota piccola, il punto \(A'\) ha percorso una traiettoria di lunghezza \(2\pi r n\). Affinché venga a coincidere con \(A\), questa lunghezza deve essere un multiplo intero di \(2\pi R\), vale a dire deve esistere \(m\) intero tale che \(2\pi r n = 2 \pi R m\). Ciò avviene se e solo se il rapporto \(R/r\) è razionale.

[Ariz93]

"Rigel":Non mi sembra servano i limiti.
Facciamo un esempio numerico. Se \(R/r = 10/3\), la ruota piccola compie \(10\) giri completi facendo \(3\) giri (completi) sulla ruota grande; quindi, dopo \(10\) giri, i punti \(A\) ed \(A'\) coincidono.

Più in generale: dopo \(n\) giri della ruota piccola, il punto \(A'\) ha percorso una traiettoria di lunghezza \(2\pi r n\). Affinché venga a coincidere con \(A\), questa lunghezza deve essere un multiplo intero di \(2\pi R\), vale a dire deve esistere \(m\) intero tale che \(2\pi r n = 2 \pi R m\). Ciò avviene se e solo se il rapporto \(R/r\) è razionale.

mi hai fregato sembrava più difficile per i periodici.

[Rigel1]

"Ariz93":mi hai fregato sembrava più difficile per i periodici.

Basterebbe ricordarsi che la definizione di numero periodico è fittizia (poiché dipende dalla base adottata): da questo punto di vista esistono solo i razionali e gli irrazionali.

[Ariz93]

"Rigel":[quote="Ariz93"]mi hai fregato sembrava più difficile per i periodici.

Basterebbe ricordarsi che la definizione di numero periodico è fittizia (poiché dipende dalla base adottata): da questo punto di vista esistono solo i razionali e gli irrazionali.[/quote]
si anche perché può essere portato sotto forma di frazione.